אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי: 2003,1-שני גופים נזרקים אנכית,הפרש זמנים

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי

السابق: 12. 2006,1-שני גופים גרפי מהירות זמן

التالي: 14. 2002,1-שני גופים תנועה אופקית

13. 2003,1-שני גופים נזרקים אנכית,הפרש זמנים

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שראשיתו בקרקע: $begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 end style$

בהתאם לנאמר בשאלה, כיוון הציר הוא כלפי מעלה, יש לבחור את מיקום ראשית הציר, ולהשתמש בפונקציית המקום בתלות בזמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה. מכיוון שכיוון הציר הוא כלפי מעלה סימן התאוצה חייב להיות שלילי.

נבחר ציר שראשיתו בקרקע , וכיוונו כלפי מעלה , המיקום ההתחלתי הוא אפס. המהירות ההתחלתית היא V1.

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:

$begin mathsize 18px style غامق y‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق y دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2 end style$

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:

$begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 end style$

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:

undefined

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:

undefined

אפשר לתאר את תנועת האבן ביחס לציר שראשיתו לא נמצאת בקרקע. במקרה כזה המקום ההתחלתי יהיה שונה מאפס. הסעיפים הבאים עוסקים בתנועת שני גופים הנעים בזמנים שונים , לכן כדאי כבר מעכשיו לסמן את זמן תנועת האבן הראשונה ב t1 ולא ב t.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שראשיתו בקרקע: $begin mathsize 18px style bold italic y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic V دليل سفلي غامق 2‏ غامق في‏ bold italic t دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 end style$

גם האבן השנייה נזרקה מהקרקע אך בזמן שונה, ויש לתאר את תנועת האבן מרגע זריקתה , נגדיר זמן חדש t2 המתאר את מיקום האבן בתלות בזמן מרגע זריקתה .

ביחס לציר בו השתמשנו לתיאור האבן הראשונה, גם המיקום ההתחלתי של האבן השנייה הוא אפס.
המהירות ההתחלתית היא V2.

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:
$begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق زائد‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق a دليل سفلي غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 end style$

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:
$begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 end style$

אפשר לבטא את המקום של האבן השנייה בתלות ב t1 ו T , יותר פשוט להגדיר זמן זה כ t2.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 1‏ غامق.‏ غامق 035‏ غامق s end style$

מהשוואת שתי פונקציות המקום בתלות בזמן מתקבלת משוואה אחת עם שני נעלמים t1 t2. ובהתאם להפרש בזמני הזריקה T מתקבלת משוואה נוספת באותם הנעלמים, מפתרון שתי משוואות בשני נעלמים ניתן למצוא את זמני התנועה של כל אבן מרגע זריקתה ועד רגע המפגש.

נשווה בין שתי פונקציות המקום זמן של האבנים, ונקבל משוואת זמנים :

$begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$

$begin mathsize 18px style غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ ‏ محاط صندوق غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$
משוואת זמנים נוספת נקבעת בהתאם לזמני זריקת הכדורים:
האבן הראשונה נזרקה T שניות לפני האבן השנייה.
לכן זמן תנועת האבן הראשונה גדול מזמן תנועת האבן השנייה ב T שניות:

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق T‏ ‏ محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5 نهاية محاط end style$

נפתור את מערכת המשוואות, כדי למצוא את t1. נציב את t2 מהמשוואה השנייה במשוואה הראשונה:
$begin mathsize 20px style غامق t‏ غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق t‏ غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق تباعد‏ غامق سهم مزدوج متجه يمين ً ا‏ محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5 نهاية محاط‏ end style$

$begin mathsize 18px style غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق قوس هلالي أيمن أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق في‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق زائد‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5 أّسّ غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق 0‏ غامق.‏ غامق 5 أّسّ غامق 2‏ ‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 12‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 6‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1‏ غامق.‏ غامق 25‏ ‏ غامق ناقص‏ غامق 7‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 7‏ غامق.‏ غامق 25‏ ‏ ‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 7‏ غامق.‏ غامق 25 على المقام غامق 7 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 1‏ غامق.‏ غامق 035‏ غامق S end style$

לכן, האבנים יפגשו כעבור 1.035 שניות מרגע זריקת האבן הראשונה .

undefined

undefined

משוואת זמנים נוספת נקבעת בהתאם לזמני זריקת הכדורים:

האבן הראשונה נזרקה T שניות לפני האבן השנייה.

לכן זמן תנועת האבן הראשונה גדול מזמן תנועת הבאן השנייה ב T שניות:

undefined

נפתור את מערכת המשוואות, כדי למצוא את t1. נציב את t2 מהמשוואה השנייה במשוואה הראשונה:
undefined

undefined

לכן,האבנים יפגשו כעבור 1.035 שניות מרגע זריקת האבן הראשונה .

כאשר זמני תנועת הגופים עד למפגש הם שונים , תלמידים נוטים לקצר את מהלך הפתרון להוסיף תיקון קטן ל t . למשל t1-0.5 אך התלמידים לא בטוחים אם זה פלוס חצי או מינוס לחצי, ל t1 או ל t2 . לכן עדיף לכתוב שתי משוואות זמנים נפרדות ולפתור מערכת משוואות .

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

לאחר 0.9 שניות.

יש למצוא את זמן התנועה של כל אחת מהאבנים מרגע הזריקה ועד לרגע הפגיעה, ולהתייחס לעובדה שהאבן השנייה נזרקה חצי שנייה לאחר זריקת האבן הראשונה.

האבן נזרקת מפני הקרקע וחוזרת לפני הקרקע , העתק התנועה הוא אפס . מביטוי ריבוע המהירויות גודל מהירות הפגיעה כגודל מהירות הזריקה, כיוון תנועת האבן ברגע הפגיעה בקרקע הפוך לכיוון תנועת האבן ברגע הזריקה:    $غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق V$

נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן $غامق V‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t$ , נכתוב ביטוי לזמן תנועת כל אחת מהאבנים, מרגע הזריקה ועד רגע הפגיעה בקרקע :
$غامق t‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق a نهاية الكسر$

נחשב את זמן התנועה של כל אחת מהאבנים, מרגע הזריקה ועד רגע החזרה לקרקע:
$غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 01 على المقام غامق a نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 10‏ غامق ناقص‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق قوس هلالي أيمن على المقام غامق 10 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 20 على غامق 10‏ غامق يساوي‏ غامق 2 دليل سفلي غامق S‏ ‏ ‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 02 على المقام غامق a نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 12‏ غامق ناقص‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 12‏ غامق قوس هلالي أيمن على المقام غامق 10 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 24 على غامق 10‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 4 دليل سفلي غامق S$
אם האבנים היו נזרקות יחד בו זמנית, האבן השנייה הייתה מגיע לקרקע 0.4 שניות לאחר פגיעת האבן הראשונה, אך מכיוון שהאבן השנייה נזרקה 0.5 שניות לאחר האבן הראשונה, האבן השנייה תפגע בקרקע 0.9 שניות לאחר פגיעת האבן הראשונה.

לא תמיד קל מיד להבין את התנועה, במיוחד כאשר מדובר על שתי תנועות בזמנים שונים , מומלץ לערוך הדמיה של התנועה בעזרת מחק , מחדד וכ"ו , כדי לחדד את הבנת התנועות לפני הסקת המסקנות. לאחר הבנה טובה של התנועות, הרבה יותר קל להגיע בהיגיון ובביטחון לתשובה הנכונה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

יש לתאר את הפונקציות בגרף מקום בתלות בזמן, הפונקציות הן פרבולות "בוכות" מכיוון שהמקדם שלהן הוא שלילי , חשוב לסמן את הזמנים המופיעים בסעיפים הקודמים.

נסכם את נתוני תנועת האבנים, מהסעיפים הקודמים :
1. אם האבן הראשונה נזרקה ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקה ברגע t=0.5s
2.האבן הראשונה פוגעת בקרקע שתי שניות לאחר שנזרקה
3. האבן השנייה פוגעת בקרקע 2.4 שניות לאחר זריקתה, זאת אומרת 2.9 שניות לאחר זריקת אבן הראשונה.
4. ברגע t=1.03s שת י האבנים נמצאות באותו גובה.
5. האבן הראשונה נזרק במהירות גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר.

1. אם האבן הראשונה נזרקה ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקה ברגע t=0.5s
2.האבן הראשונה פוגעת בקרקע שתי שניות לאחר שנזרקה
3. האבן השנייה פוגעת בקרקע 2.4 שניות לאחר זריקתה, זאת אומרת 2.9 שניות לאחר זריקת אבן הראשונה.
4. ברגע t=1.03s שת י האבנים נמצאות באותו גובה.
5. האבן הראשונה נזרק במהירות גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר.

שתי האבנים נעים בתאוצות שליליות זהות, לכן הצורה הכללית של שתי הפרבולות היא זהה.

מהירות האבן השנייה גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר. האבן השנייה נזרקה חצי שנייה לאחר מכן, לכן הגרף המתאר את תנועתה מתחיל ברגע t=0.5s.

ברגע t=1.035s האבנים נפגשות.

האבן הראשונה נזרקת ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקת ברגע t=0.5s.

האבן הראשונה פוגעת בקרקע 2 שניות לאחר זריקתה. והאבן השנייה פוגעת בקרקע 0.9 שניות לאחר מכן.

הגרף הבא מתאר את תנועת שתי האבנים:

באופן כללי יש שני סוגים של תיאורים גרפיים: תיאור איכותי שלא כולל ערכים . ותיאור כמותי הכולל ערכים חשובים. בגרף זה היה חשוב לתאר גם את הגובה המקסימאלי אליו מגיעה כל אבן. אך מכיוון שבשאלה נאמר מפורש שאין צורך בחישובים נוספים, אפשר להשאיר את הגרף ללא ערכי הגבהים.

______________________________________________________________________________________