אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי: 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי

הקודם: 14. 2002,1-שני גופים תנועה אופקית

15. 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שכיוונו כלפי מטה , פונקציית המקום בתלות בזמן של כדור א' היא: $begin mathsize 18px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 5 bold times bold t to the power of bold 2 end style$

יש לבחור ציר תנועה ולתאר ביחס לציר את מקום הכדור בתלות בזמן , בעזרת פונקציית מקום זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

נבחר ציר תנועה שראשית בנקודת שחרור הכדורים (בגובה גג הבניין) וכיוונו כלפי מטה.


ביחס לציר זה מהירות הכדורים תמיד חיובית והיא הולכת וגדלה.

נכתוב את נתוני התנועה של כדור א' ביחס לציר התנועה הנבחר:

   $bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold m over bold s bold italic a bold equals bold plus bold italic g$
נשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתיאור תנועתו של גוף הנע בתאוצה קבועה:

$bold italic X bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$

נוח לבחור את ראשית הציר בנקודת הזריקה כך שהמיקום ההתחלתי של הכדור ביחס לציר יהיה אפס, ואת כיוון הציר נוח לבחור כלפי מטה, כך שהמהירות הכדור תגדל , והוא ינוע בתאוצה חיובית.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לאותו ציר , ביטוי מיקום כדור ב' בתלות בזמן הוא: $begin mathsize 20px style bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end style$ .

undefined

זמן תנועת כדור ב' שונה מזמן תנועת כדור א'. לכן יש לתאר את פונקציית המקום זמן בתלות בזמן תנועה t2 . ולהשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

נכתוב את נתוני התנועה של כדור ב' , ביחס לציר התנועה הנבחר.
$begin mathsize 20px style bold Y subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 0 bold m bold V subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 14 bold m over bold s bold a bold equals bold plus bold g end style$
נכתוב בהתאם את ביטוי מקום כדור 2 בתלות בזמן :
$begin mathsize 20px style bold italic Y bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 box enclose bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end enclose end style$

חשוב לתאר את שתי פונקציות המקום זמן של הכדורים ביחס לאותו ציר, כדי שברגע המפגש יהיה לשניהם ערך זהה של X.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold equals bold 2 bold. bold 25 bold s end style$

שאלה זו עוסקת בתנועת שני גופים הנעים בזמני תנועה שונים. יש לקבל משוואת זמנים מהשוואת פונקציות המקום זמן של הגופים. ומשוואת זמנים נוספת מהפרש הזמנים בתחילת תנועות הגופים.

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:
$begin mathsize 20px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold equals bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis end style$
$begin mathsize 20px style box enclose bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end enclose end style$

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.
נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:
$begin mathsize 20px style box enclose bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 end enclose end style$
כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 rightwards double arrow bold space box enclose bold t subscript bold 2 bold equals bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 end enclose end style$

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

$begin mathsize 20px style bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses bold plus bold 5 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 14 bold plus bold 5 open parentheses bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 1 close parentheses bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 14 bold plus up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 5 bold equals bold space up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold 4 bold times bold t subscript bold 1 bold equals bold 9 bold t subscript bold 1 bold equals bold 9 over bold 4 bold equals bold 2 bold. bold 25 bold S end style$

לכן כעבור 2.25 שניות מרגע שחרור כדור א' . שני הכדורים נפגשים.

האפשרות ששני הגופים יפגשו כאשר הם נעים בתנועה בליסטית תלויה גם בגובה הבניין. כל החישובים שנעשו בסעיף זה לא מתייחסים לגובה הבניין, ההנחה היא שהבניין מספיק גבוה כך שלאחר 2.25 שניות מרגע שחרור כדור א' הכדורים נפגשים באוויר.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

המהירות של כדור א' לאחר שנייה מרגע שחרורו היא 10 מטר לשנייה.

כדור א' נע ממנוחה בתאוצה קבועה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע. אפשר למצוא את מהירותו ברגע t=1s , בעזרת פונקצית מהירות זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

הכדור נע בתאוצה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע , לכן בכל שנייה בזמן תנועתו מהירות הכדור גדלה ב 10 מטר לשנייה . ברגע t=1s מהירות הכדור היא 10 מטר לשנייה.

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

$begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold equals bold 0 bold plus bold 10 bold times bold t bold V bold left parenthesis bold 1 bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 10 bold times bold 1 bold equals bold 10 bold m over bold s end style$

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

undefined

כל תנועה בה גוף נע בהשפעת כוח הכובד בלבד(תנועה בליסטית) . היא תנועה בתאוצה קבועה וידועה g . תנועה אנכית היא מקרה פרטי של תנועה בתאוצה קבועה. על פני כדור הארץ כל הגופים הנעים בהשפעת כוח הכבדה בלבד נעים בתאוצת קבועה שגודלה 9.8 מטר לשנייה בריבוע.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

הכדורים לא היו נפגשים.

אם בזמן תנועת הכדורים המרחק ביניהם הולך וקטן הכדורים יפגשו , אחרת הם לא יפגשו. בנוסף אם ננסה למצוא את זמן המפגש של כדורים שאינן מתנגשים נקבל משוואה חסרת משמעות .

במקרה זה כעבור שנייה שני הכדורים נעים במהירות זהה. המרחק ביניהם לא הולך וקטן ,והכדורים לא יפגשו.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

$begin mathsize 20px style box enclose bold 10 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end enclose end style$

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.
נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:
$begin mathsize 20px style box enclose bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 end enclose end style$
כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :
$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 rightwards double arrow bold space box enclose bold t subscript bold 2 bold equals bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 end enclose end style$

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

$begin mathsize 20px style bold 10 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 10 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses bold plus bold 5 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 10 bold plus bold 5 open parentheses bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 1 close parentheses bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 down diagonal strike bold 10 bold times bold t subscript bold 1 end strike bold minus bold 10 bold plus up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus down diagonal strike bold 10 bold times bold t subscript bold 1 end strike bold plus bold 5 bold equals bold space up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus bold 5 bold equals bold 0 end style$
קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:

undefined

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.

נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:

undefined

כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

undefined

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

undefined

קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

לא תמיד כאשר אין פתרון יש טעות אלגברית , במקרים מסוימים , חוסר פתרון הוא הפתרון הנכון. כמו במקרה זה , הכדורים לא נפגשים, העובדה שאין פתרון מתמטי לזמן המפגש מעידה שהכדורים לא נפגשים.

______________________________________________________________________________________