אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי: 2000,1-שני גופים נעים בליסטית

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי

הקודם: 15. 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

16. 2000,1-שני גופים נעים בליסטית

קישור להדפסת השאלה

______________________________________________________________________________________

...

80 מטר.

כדור א' נע בתאוצה קבועה , תנועת הכדור מתוארת ביחס לציר שכיוונו כלפי מעלה , לכן התאוצה של הכדור היא שלילית.

בנקודת שיא הגובה המהירות של הכדור היא אפס.

נתייחס לתנועתו של כדור א' , מרגע הזריקה ועד לרגע העצירה בנקודת שיא הגובה. ביחס לציר התנועה המתואר בשאלה.

נכתוב את נתוני התנועה:

$bold italic V subscript bold 0 bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic V bold equals bold 0 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g bold increment bold italic y bold equals bold italic h bold equals bold ?$

ניתן לבטא את ההעתק התנועה מתוך ביטוי ריבוע המהירויות.

$bold italic V to the power of bold 2 bold equals bold italic V subscript bold 0 to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold times bold italic a bold times bold increment bold italic y$

נציב את נתוני התנועה ונמצא את ההעתק התנועה , העתק תנועה זו שווה לגובה המקסימאלי אליו יגיע הכדור בתנועתו.

$bold space bold increment bold italic y bold equals fraction numerator bold V to the power of bold 2 bold minus bold V subscript bold 0 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 0 to the power of bold 2 bold minus bold 40 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 10 bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 1600 over denominator bold minus bold 20 end fraction bold equals bold 80 bold italic m$

הגובה בו נמצא הגוף נקבע לפי המרחק שבין הגוף לקרקע , מיקום הגוף מתואר ביחס לציר המקום. אלו שני דברים שונים . במקרה זה ראשית ציר התנועה ממוקמת בקרקע , וכיוונו כלפי מעלה כך שערך הגובה זהה לערך המיקום. לא תמיד המיקום זהה לגובה.

______________________________________________________________________________________

...

כעבור 8 שניות.

כדור א' נע בתאוצת הכובד, תאוצה קבועה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע. אפשר לנתח את תנועתו ביחס לציר התנועה בעזרת הפונקציות המתאימות לתנועה בתאוצה קבועה.

נתייחס לתנועת הכדור מהרגע שהוא נזרק כלפי מעלה ועד רגע החבטה(עד שחזר לנקודת הזריקה) . נתאר את התנועה ביחס לציר התנועה הנתון בשאלה.
נכתוב את נתוני התנועה:

$bold italic V subscript bold 0 bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g bold increment bold italic y bold equals bold 0 bold italic t bold equals bold ?$

דרך א': כדי למצוא את זמן התנועה אפשר להשתמש בפונקציית המקום בתלות בזמן לתנועה בתאוצה קבועה.

$bold italic X bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2$
נציב את נתוני התנועה ונמצא את t:

   $bold 0 bold equals bold 0 bold plus bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold 40 bold times bold italic t bold equals bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic t bold equals bold 40 over bold 5 bold equals bold 8 bold italic s$

לכן הזמן שעבר מרגע שהכדור נזרק ועד רגע החבטה הוא 8 שניות.

דרך ב': מביטוי ריבוע המהירויות כאשר ההעתק שווה לאפס המהירות הסופית שווה בגודלה למהירות ההתחלתית . לכן מהיריות אלו שוות רק בעלי סימן מנוגד(כיווני תנועה מנוגדים) .
לכן ניתן לומר שבתנועה זו מתקיים : $bold italic V bold equals bold minus bold italic V subscript bold 0$
נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן , $bold italic V bold equals bold italic V subscript bold 0 bold plus bold italic a bold times bold italic t$ נבטא את זמן התנועה ונשתמש בקשר $bold italic V bold equals bold minus bold italic V subscript bold 0$ .

   $bold italic t bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold V subscript bold 0 bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 2 bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 2 bold times bold 40 over denominator bold minus bold 10 end fraction bold equals bold 8 bold italic s$

לסיכום: הכדור נע בתאוצת כוח הכובד , בכל שנייה מהירותו קטנה ב 10 מטר לשנייה , מהירותו ההתחלתית היא 40 מטר לשנייה , לכן כעבור 4 שניות מהירות הכדור היא אפס, (והוא נעצר בנקודת שיא הגובה) . זמן הירידה שווה לזמן העלייה , בסה"כ הזמן שעובר מרגע שהכדור נזרק כלפי מעלה ועד שהוא מגיע חזרה לנקודת הזריקה הוא 8 שניות.

כדאי לזכור שזמן העליה שווה לזמן הירידה , כדאי גם לזכור שהמהירות בה נזרק הגוף כלפי מעלה שווה בגודלה (והפוכה בסימונה) למהירות בה הגוף פגע בקרקע. צריך לדעת להוכיח הכל, ולהשתמש בפונקציות.

______________________________________________________________________________________

...

כעבור 5 שניות.

שני הכדורים נעים בהשפעת כוח הכבידה בלבד, לכן הם נעים בתאוצת הכובד g. זמני התנועה שלהם שווים , יש לכתוב לכל כדור את פונקציית המקום זמן. ולמצוא את זמן התנועה מהשוואת הפונקציות.

שני הכדורים התחילו לנוע בו זמנית, שניהם נעים בהשפעת כוח הכובד בלבד לכן תאוצתם 9.8 מטר לשנייה בריבוע.
נכתוב נתוני התנועה ואת פונקציית המקום זמן עבור כדור א' ,נסמן כדור א' כגוף 1:

$bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g$
$bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
נכתוב נתוני התנועה ואת פונקציית המקום זמן עבור כדור ב' ,נסמן כדור ב' כגוף 2:
$bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 300 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold minus bold 20 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g$

$bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
נמצא את זמן המפגש מהשוואת שתי פונקציות המקום זמן:
$bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold 40 bold times bold italic t bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold 60 bold times bold italic t bold equals bold 300 bold space bold italic t bold equals bold 5 bold italic s bold space$
לכן שני הכדורים נפגשו כעבור 5 שניות מרגע תחילת תנועתם.

מכיוון ששני הכדורים נעים בתאוצה זהה , יש רק רגע אחד שבו הם נפגשו. במשוואה המתקבלת מהשוואת פונקציות המקום זמן. האברים עם ריבוע הזמן מצטמצמים . ומתקבלת משוואה ליניארית יש רק זמן אחד שבו הכדורים נפגשים. אם תאוצות הכדורים היו שונות אז הכדורים היו יכולים להיפגש יותר מפעם אחת.

______________________________________________________________________________________

...

המרחק בין הכדורים שווה להפרש במיקומי הכדורים. לכן יש להגדיר פונקציה חדשה $bold Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis$ לפי: $bold Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold minus bold Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis$ . ולתאר את הפונקציה בגרף.

נגדיר פונקציה חדשה Y3 המתארת את המרחק בין הכדורים בתלות בזמן:
נגדיר את הפונקציה החדשה בתלות בפונקציות : $bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$ ו - $bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
כך שהפונקציה $bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$ תתאר בכל רגע את המרחק בין הכדורים:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold minus bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$
נציב את שתי הפונקציות:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold left parenthesis bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold right parenthesis$

נפשט את הביטוי:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 40 bold times bold italic t bold plus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 box enclose bold Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 60 bold times bold t end enclose$

נתאר את $bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$ בגרף מקום בתלות בזמן:

ההיגיון שעומד אחרי הגרף - ברגע t=0 המרחק בין הכדורים הוא 300 מטר. מהירויות שתי הכדורים משתנה באותה הצורה(שניהם נעים בתאוצת כוח הכובד) לכן הפרש המהירויות בין הכדורים הוא קבוע (60 מטר לשנייה). המרחק בין הכדורים קטן לינארית ב 60 מטרים בכל שנייה,
בהתחלה המרחק בין הכדורים היה 300 מטר. וכעבור 5 שניות הכדורים נפגשים המרחק ביניהם הוא אפס.

יש לבחון את התאמת הביטוי המתקבל למרחק בין הכדורים בזמנים חשובים: ברגע תחילת תנועת הכדורים, וברגע המפגש.

______________________________________________________________________________________