אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי: 2000,1-שני גופים נעים בליסטית

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי

السابق: 15. 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

16. 2000,1-שני גופים נעים בליסטית

קישור להדפסת השאלה

______________________________________________________________________________________

...

80 מטר.

כדור א' נע בתאוצה קבועה , תנועת הכדור מתוארת ביחס לציר שכיוונו כלפי מעלה , לכן התאוצה של הכדור היא שלילית.

בנקודת שיא הגובה המהירות של הכדור היא אפס.

נתייחס לתנועתו של כדור א' , מרגע הזריקה ועד לרגע העצירה בנקודת שיא הגובה. ביחס לציר התנועה המתואר בשאלה.

נכתוב את נתוני התנועה:

$bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic V‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic g‏ ‏ ‏ غامق زيادة‏ bold italic y‏ غامق يساوي‏ bold italic h‏ غامق يساوي‏ غامق ?$

ניתן לבטא את ההעתק התנועה מתוך ביטוי ריבוע המהירויות.

$bold italic V أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0 أّسّ غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ غامق زيادة‏ bold italic y$

$غامق تباعد‏ غامق زيادة‏ bold italic y‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 أّسّ غامق 2 على المقام غامق 2‏ غامق في‏ غامق a نهاية الكسر$

נציב את נתוני התנועה ונמצא את ההעתק התנועה , העתק תנועה זו שווה לגובה המקסימאלי אליו יגיע הכדור בתנועתו.

$غامق تباعد‏ غامق زيادة‏ bold italic y‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 أّسّ غامق 2 على المقام غامق 2‏ غامق في‏ غامق a نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 0 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 40 أّسّ غامق 2 على المقام غامق 2‏ غامق في‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق قوس هلالي أيمن نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق ناقص‏ غامق 1600 على المقام غامق ناقص‏ غامق 20 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 80‏ bold italic m$

הגובה בו נמצא הגוף נקבע לפי המרחק שבין הגוף לקרקע , מיקום הגוף מתואר ביחס לציר המקום. אלו שני דברים שונים . במקרה זה ראשית ציר התנועה ממוקמת בקרקע , וכיוונו כלפי מעלה כך שערך הגובה זהה לערך המיקום. לא תמיד המיקום זהה לגובה.

______________________________________________________________________________________

...

כעבור 8 שניות.

כדור א' נע בתאוצת הכובד, תאוצה קבועה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע. אפשר לנתח את תנועתו ביחס לציר התנועה בעזרת הפונקציות המתאימות לתנועה בתאוצה קבועה.

נתייחס לתנועת הכדור מהרגע שהוא נזרק כלפי מעלה ועד רגע החבטה(עד שחזר לנקודת הזריקה) . נתאר את התנועה ביחס לציר התנועה הנתון בשאלה.
נכתוב את נתוני התנועה:

$bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic g‏ ‏ ‏ غامق زيادة‏ bold italic y‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ ‏ ‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق ?$

דרך א': כדי למצוא את זמן התנועה אפשר להשתמש בפונקציית המקום בתלות בזמן לתנועה בתאוצה קבועה.

$bold italic X‏ غامق يساوي‏ bold italic X دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2$
נציב את נתוני התנועה ונמצא את t:

   $غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق 40 على غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق 8‏ bold italic s‏$

לכן הזמן שעבר מרגע שהכדור נזרק ועד רגע החבטה הוא 8 שניות.

דרך ב': מביטוי ריבוע המהירויות כאשר ההעתק שווה לאפס המהירות הסופית שווה בגודלה למהירות ההתחלתית . לכן מהיריות אלו שוות רק בעלי סימן מנוגד(כיווני תנועה מנוגדים) .
לכן ניתן לומר שבתנועה זו מתקיים : $bold italic V‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0$
נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן , $bold italic V‏ غامق يساوي‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t$ נבטא את זמן התנועה ונשתמש בקשר $bold italic V‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0$ .

   $bold italic t‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق ناقص‏ غامق g نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق ناقص‏ غامق g نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق ناقص‏ غامق g نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق 40 على المقام غامق ناقص‏ غامق 10 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 8‏ bold italic s$

לסיכום: הכדור נע בתאוצת כוח הכובד , בכל שנייה מהירותו קטנה ב 10 מטר לשנייה , מהירותו ההתחלתית היא 40 מטר לשנייה , לכן כעבור 4 שניות מהירות הכדור היא אפס, (והוא נעצר בנקודת שיא הגובה) . זמן הירידה שווה לזמן העלייה , בסה"כ הזמן שעובר מרגע שהכדור נזרק כלפי מעלה ועד שהוא מגיע חזרה לנקודת הזריקה הוא 8 שניות.

כדאי לזכור שזמן העליה שווה לזמן הירידה , כדאי גם לזכור שהמהירות בה נזרק הגוף כלפי מעלה שווה בגודלה (והפוכה בסימונה) למהירות בה הגוף פגע בקרקע. צריך לדעת להוכיח הכל, ולהשתמש בפונקציות.

______________________________________________________________________________________

...

כעבור 5 שניות.

שני הכדורים נעים בהשפעת כוח הכבידה בלבד, לכן הם נעים בתאוצת הכובד g. זמני התנועה שלהם שווים , יש לכתוב לכל כדור את פונקציית המקום זמן. ולמצוא את זמן התנועה מהשוואת הפונקציות.

שני הכדורים התחילו לנוע בו זמנית, שניהם נעים בהשפעת כוח הכובד בלבד לכן תאוצתם 9.8 מטר לשנייה בריבוע.
נכתוב נתוני התנועה ואת פונקציית המקום זמן עבור כדור א' ,נסמן כדור א' כגוף 1:

$bold italic Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ bold italic m‏ ‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic g‏$
$bold italic Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2$
נכתוב נתוני התנועה ואת פונקציית המקום זמן עבור כדור ב' ,נסמן כדור ב' כגוף 2:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ bold italic m‏ ‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ bold italic g‏$

$bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2$
נמצא את זמן המפגש מהשוואת שתי פונקציות המקום זמן:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ ‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ ‏ غامق 60‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ ‏ bold italic t‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ bold italic s‏ غامق تباعد‏$
לכן שני הכדורים נפגשו כעבור 5 שניות מרגע תחילת תנועתם.

מכיוון ששני הכדורים נעים בתאוצה זהה , יש רק רגע אחד שבו הם נפגשו. במשוואה המתקבלת מהשוואת פונקציות המקום זמן. האברים עם ריבוע הזמן מצטמצמים . ומתקבלת משוואה ליניארית יש רק זמן אחד שבו הכדורים נפגשים. אם תאוצות הכדורים היו שונות אז הכדורים היו יכולים להיפגש יותר מפעם אחת.

______________________________________________________________________________________

...

המרחק בין הכדורים שווה להפרש במיקומי הכדורים. לכן יש להגדיר פונקציה חדשה $غامق Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن$ לפי: $غامق Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق ناقص‏ غامق Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن$ . ולתאר את הפונקציה בגרף.

נגדיר פונקציה חדשה Y3 המתארת את המרחק בין הכדורים בתלות בזמן:
נגדיר את הפונקציה החדשה בתלות בפונקציות : $bold italic Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2$ ו - $bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2$
כך שהפונקציה $bold italic Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن$ תתאר בכל רגע את המרחק בין הכדורים:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق ناقص‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن$
נציב את שתי הפונקציות:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن$

נפשט את הביטוי:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 40‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ محاط صندوق غامق Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 300‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق 60‏ غامق في‏ غامق t نهاية محاط$

נתאר את $bold italic Y دليل سفلي غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن$ בגרף מקום בתלות בזמן:

ההיגיון שעומד אחרי הגרף - ברגע t=0 המרחק בין הכדורים הוא 300 מטר. מהירויות שתי הכדורים משתנה באותה הצורה(שניהם נעים בתאוצת כוח הכובד) לכן הפרש המהירויות בין הכדורים הוא קבוע (60 מטר לשנייה). המרחק בין הכדורים קטן לינארית ב 60 מטרים בכל שנייה,
בהתחלה המרחק בין הכדורים היה 300 מטר. וכעבור 5 שניות הכדורים נפגשים המרחק ביניהם הוא אפס.

יש לבחון את התאמת הביטוי המתקבל למרחק בין הכדורים בזמנים חשובים: ברגע תחילת תנועת הכדורים, וברגע המפגש.

______________________________________________________________________________________