אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי: 2009,1-שני גופים נזרקים מעלה

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 23423 - גיבוי

הבא: 11. 2008,1-שני גופים גרף מהירות זמן

10. 2009,1-שני גופים נזרקים מעלה

קישור להדפסת השאלה

* שאלה זו שונה מהשאלה המקורית, והיא מותאמת לנושא הקנמטיקה בקו ישר.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold Y bold equals bold 120 bold m end style$

השאלה עוסקת בתנועת שני גופים הנעים בזמנים תנועה זהים. יש לכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהכדורים, למצוא את זמן המפגש מהשוואת הפונקציות. ולהציב את זמן המפגש באחת הפונקציות מקום זמן כדי למצוא את מקום המפגש.

נתאר את תנועת שני הכדורים ביחס לציר תנועה Y שכיוונו כלפי מעלה , וראשיתו בקרקע .
נגדיר את כדור A ככדור מספר 1 , וכדור B ככדור מספר 2. נכתוב את נתוני התנועה של הכדורים ביחס לציר התנועה הנבחר.
מהירות הכדורים הולכת וקטנה לכן הם נעים בתאוצה שלילית
$Y subscript 0 subscript 1 end subscript equals 45 m V subscript 0 subscript 1 end subscript equals 40 m over s a subscript 1 equals g equals negative 10 m over s squared$
$Y subscript 02 equals 0 m V subscript 02 equals 55 m over s a subscript 2 equals g equals negative 10 m over s squared$
שני הכדורים התחילו לנוע בו זמנית, זמן תנועת הכדורים זהה בכל רגע, נכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהכדורים:
$bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 45 bold plus bold 40 bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 55 bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold italic t to the power of bold 2$
נמצא את זמן המפגש- ברגע המפגש , מקום הכדורים זהה, לכן כדי למצוא את זמן המפגש נשווה בין מקומי הכדורים:
$text 55t- end text 1 half times 10 times t squared equals 45 plus 40 t minus 1 half times 10 times t squared 15 t equals 45 bold italic t bold equals bold 3 bold italic s$
נמצא את מקום המפגש - נציב את זמן המפגש באחת מפונקציות המקום זמן:
$bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 55 bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold 3 bold right parenthesis bold equals bold 55 bold times bold 3 bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold 3 to the power of bold 2 bold equals bold 165 bold minus bold 45 bold equals bold 120 bold italic m$
לכן הכדורים נפגשים במקום y=120m , זאת אומרת בגובה 120 מטר מעל פני הקרקע.

הכדורים נזרקים כלפי מעלה ומהירותם חיובית , לכן ציר התנועה חייב להיות במקרה זה כלפי מעלה. ראשיתו יכולה להיות בכל מקום.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

אין רגע כזה.

כדי שלכדורים תהיה מהירות זהה בגודלה וכיוון תנועה זהה , לכדורים צריכה להיות אותה המהירות בגודל ובסימן

הכדורים נזרקים במהירויות שונות , והמהירות שלהם משתנה בצורה זהה , בכל שנייה מהירותם קטנה ב 10 מטר לשנייה. לכן לא יכול להיות רגע שבו לכדורים תהיה אותה המהירות .

נשווה בין פונקציות המהירות זמן , כדי למצוא זמן בו לשני הכדורים מהירות זהה:

$begin mathsize 20px style bold italic V subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic V subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold 40 down diagonal strike bold minus bold 10 bold t end strike bold equals bold 55 down diagonal strike bold minus bold 10 bold t end strike bold 40 bold not equal to bold 55 end style$

לכן , אין זמן בו לשני הכדורים קיימת מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

נשווה בין פונקציות המהירות זמן , כדי למצוא זמן בו לשני הכדורים מהירות זהה:

undefined

לכן , אין זמן בו לשני הכדורים קיימת מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

חשוב להבין את תנועת הכדורים , כך שללא כל הוכחה מתמטית יהיה ברור שאין רגע שבו לשני הכדורים יש מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

כן, כעבור 4.75 שניות מרגע זריקת הכדורים.

מהבנת תנועת הכדורים : כאשר כדור A יורד , וכדור B עולה , יש רגע בו לשני הכדורים יש מהירות זהה בגודלה אך לא בסימונה . כדי להוכיח שיש רגע כזה יש להשוות בין $begin mathsize 20px style bold V subscript bold B bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ לבין $begin mathsize 20px style bold minus bold V subscript bold A bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ .

כאשר גודל מהירות הכדורים זהה , מתקיים $begin mathsize 20px style bold V subscript bold B bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold minus bold V subscript bold A bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$
נכתוב את פונקציית המהירות בתלות בזמן לכל אחד מהכדורים. ונשווה בין הפונקציות.
$begin mathsize 20px style bold V subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 40 bold minus bold 10 bold t bold minus bold V subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold minus bold left parenthesis bold 55 bold minus bold 10 bold t bold right parenthesis bold equals bold minus bold 55 bold plus bold 10 bold t bold V subscript bold A bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold minus bold V subscript bold B bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold 40 bold minus bold 10 bold t bold equals bold minus bold 55 bold plus bold 10 bold t bold 95 bold equals bold 20 bold t bold t bold equals bold 4 bold. bold 75 bold s end style$
לכן גודל מהירות הכדורים זהה כעבור 4.75 שניות מרגע זריקתם.
אם נציב זמן זה בביטוי המהירות בתלות בזמן של הכדורים נמצא שברגע t=4.75s כדור B נע כלפי מעלה בכיוון ציר התנועה ומהירותו 7.5 מטר לשנייה , וכדור A נע כלפי מטה ומהירות 7.5- מטר לשנייה.

המהירות של הכדורים חשובה , אך מיקומם אינו חשוב.

______________________________________________________________________________________