פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות:

פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות

3. שני גופים הנעים במהירויות קבועות ובזמני תנועה שונים

3.4.

הגופים נפגשים פעמיים, בפעם הראשונה כאשר גוף 2 נמצא במנוחה , ופעם נוספת כאשר גוף 2 נמצא בתנועה.

כדי למצוא את זמני המפגש של שתי פגישות אלו יש לחזור על כל השלבים למציאת מקום וזמן מפגש פעמיים.

נמצא את מקום וזמן המפגש הראשון(כאשר גוף 2 נמצא במנוחה):

נכתוב את נתוני תנועת הגופים במצב זה:

$begin mathsize 22px style bold X subscript bold 02 bold equals bold 8 bold m bold V subscript bold 2 bold equals bold 0 bold m over bold s end style$ $begin mathsize 22px style bold X subscript bold 01 bold equals bold space bold 3 bold m bold V subscript bold 1 bold equals bold space bold 2 bold m over bold s end style$

נכתוב את פונקציית המקום זמן של הגופים:

$begin mathsize 22px style box enclose bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 end enclose box enclose bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 8 bold space end enclose end style$

נשווה בין הפונקציות, ונמצא את זמן המפגש:

$begin mathsize 22px style bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold equals bold 5 bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold equals bold 5 over bold 2 bold equals bold 2 bold. bold 5 bold italic s end style$

למציאת מקום המפגש הראשון, נציב את זמן תנועת גוף 1 עד למפגש בפונקציית המקום זמן של גוף 1:

$begin mathsize 22px style bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold 2 bold. bold 5 bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 bold times bold 2 bold. bold 5 bold equals bold 8 bold m end style$

הגופים נפגשים בפעם הראשונה במקום בו נח גוף 2, במיקום X=8m.

נמצא את מקום וזמן המפגש השני(כאשר גוף 2 נמצא בתנועה):

נכתוב את נתוני תנועת הגופים:

$begin mathsize 22px style bold X subscript bold 02 bold equals bold 8 bold m bold V subscript bold 2 bold equals bold 9 bold m over bold s end style$ $begin mathsize 22px style bold X subscript bold 01 bold equals bold space bold 3 bold m bold V subscript bold 1 bold equals bold space bold 2 bold m over bold s end style$

הגופים לא התחילו לנוע יחד בו זמנית, זמן תנועת הגופים מרגע תחילת תנועתם ועד רגע המפגש הוא שונה!

כדי למצוא את מקום המפגש ואת זמן המפגש , נכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהגופים בתלות בזמן התנועה שלו.

פונקציית מקום זמן המתאימה לתנועה במהירות קבועה: $begin mathsize 20px style bold X bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold X subscript bold 0 bold space bold plus bold V bold times bold t end style$

פונקציית המקום זמן של גוף 1:

פונקציית המקום זמן של גוף 2:

$begin mathsize 22px style box enclose bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold plus bold space bold 9 bold times bold t subscript bold 2 end enclose end style$

ברגע המפגש, ערך מיקום הגופים הוא זהה. נשווה בין פונקציות המקום זמן , ונמצא את זמני המפגש :

$begin mathsize 22px style bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold right parenthesis bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold plus bold space bold 9 bold times bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold space box enclose bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold minus bold 9 bold times bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold space bold equals bold 5 end enclose end style$

קבלנו משוואה אחת עם שני נעלמים, נכתוב את משוואת הפרש זמני התנועה.

גוף 1 התחיל לנוע 10 שניות לפני תחילת תנועתו של גוף 2. לכן, בכל רגע במהלך תנועת הגופים זמן תנועת גוף 1 גדול ב 10 שניות מזמן תנועת גוף 2 , זה נכון גם לגבי רגע המפגש. לכן מתקיים: $begin mathsize 22px style box enclose bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold equals bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold plus bold 10 end enclose end style$

נפתור מערכת משוואות של שתי משוואות בשני נעלמים:

$begin mathsize 22px style bold 1 bold right parenthesis bold space bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold minus bold 9 bold times bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold space bold equals bold 5 bold 2 bold right parenthesis space bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold equals bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold plus bold 10 end style$

נציב את 't1 מהמשוואה השנייה, במשוואה הראשונה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

נחשב את זמן תנועת גוף 1 מרגע תחילת תנועתו ועד לרגע המפגש:

$Error converting from MathML to accessible text.$

זמני תנועת הגופים מרגע תחילת תנועתם ועד לרגע המפגש הם:

$Error converting from MathML to accessible text.$

כדי למצוא את מקום המפגש נציב את אחד מזמני המפגש בפונקציית המקום זמן המתאימה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

לכן, הגופים נפגשים בפעם השנייה במיקום X=27.2m כעבור 12.14 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1 .

לסיכום:

הגופים נפגשים פעמיים:

פעם ראשונה: כעבור 2.5 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1, במפגש זה גוף 2 נמצא במנוחה.

ופעם שנייה: כעבור 12.14 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1, במפגש זה גוף 2 נמצא בתנועה.