פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות:

פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות

3. שני גופים הנעים במהירויות קבועות ובזמני תנועה שונים

3.4.

הגופים נפגשים פעמיים, בפעם הראשונה כאשר גוף 2 נמצא במנוחה , ופעם נוספת כאשר גוף 2 נמצא בתנועה.

כדי למצוא את זמני המפגש של שתי פגישות אלו יש לחזור על כל השלבים למציאת מקום וזמן מפגש פעמיים.

נמצא את מקום וזמן המפגש הראשון(כאשר גוף 2 נמצא במנוחה):

נכתוב את נתוני תנועת הגופים במצב זה:

$begin mathsize 22px style غامق X دليل سفلي غامق 02‏ غامق يساوي‏ غامق 8‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m على غامق s‏ end style$ $begin mathsize 22px style غامق X دليل سفلي غامق 01‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 3‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق m على غامق s‏ end style$

נכתוב את פונקציית המקום זמן של הגופים:

$begin mathsize 22px style محاط صندوق غامق x دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 3‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 نهاية محاط‏ ‏ ‏ محاط صندوق غامق x دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 8‏ غامق تباعد نهاية محاط end style$

נשווה בין הפונקציות, ונמצא את זמן המפגש:

$begin mathsize 22px style غامق x دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق x دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق تباعد‏ ‏ غامق 3‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 8‏ غامق تباعد‏ ‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ ‏ ‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق يساوي‏ غامق 5 على غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 5‏ bold italic s‏ end style$

למציאת מקום המפגש הראשון, נציב את זמן תנועת גוף 1 עד למפגש בפונקציית המקום זמן של גוף 1:

$begin mathsize 22px style غامق x دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 3‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ ‏ غامق x دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 3‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق 8‏ غامق m end style$

הגופים נפגשים בפעם הראשונה במקום בו נח גוף 2, במיקום X=8m.

נמצא את מקום וזמן המפגש השני(כאשר גוף 2 נמצא בתנועה):

נכתוב את נתוני תנועת הגופים:

$begin mathsize 22px style غامق X دليل سفلي غامق 02‏ غامق يساوي‏ غامق 8‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 9‏ غامق m على غامق s‏ end style$ $begin mathsize 22px style غامق X دليل سفلي غامق 01‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 3‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق m على غامق s‏ end style$

הגופים לא התחילו לנוע יחד בו זמנית, זמן תנועת הגופים מרגע תחילת תנועתם ועד רגע המפגש הוא שונה!

כדי למצוא את מקום המפגש ואת זמן המפגש , נכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהגופים בתלות בזמן התנועה שלו.

פונקציית מקום זמן המתאימה לתנועה במהירות קבועה: $begin mathsize 20px style غامق X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق X دليل سفلي غامق 0‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق V‏ غامق في‏ غامق t end style$

פונקציית המקום זמן של גוף 1:

פונקציית המקום זמן של גוף 2:

$begin mathsize 22px style محاط صندوق غامق x دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 8‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 9‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 نهاية محاط end style$

ברגע המפגש, ערך מיקום הגופים הוא זהה. נשווה בין פונקציות המקום זמן , ונמצא את זמני המפגש :

$begin mathsize 22px style غامق x دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق x دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ ‏ ‏ غامق 3‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 8‏ غامق تباعد‏ غامق زائد‏ غامق تباعد‏ غامق 9‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق تباعد‏ ‏ محاط صندوق غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق ناقص‏ غامق 9‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق 5 نهاية محاط‏ end style$

קבלנו משוואה אחת עם שני נעלמים, נכתוב את משוואת הפרש זמני התנועה.

גוף 1 התחיל לנוע 10 שניות לפני תחילת תנועתו של גוף 2. לכן, בכל רגע במהלך תנועת הגופים זמן תנועת גוף 1 גדול ב 10 שניות מזמן תנועת גוף 2 , זה נכון גם לגבי רגע המפגש. לכן מתקיים: $begin mathsize 22px style محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق زائد‏ غامق 10 نهاية محاط end style$

נפתור מערכת משוואות של שתי משוואות בשני נעלמים:

$begin mathsize 22px style غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق تباعد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق ناقص‏ غامق 9‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ ‏ غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق فاصلة علوية‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ end style$

נציב את 't1 מהמשוואה השנייה, במשוואה הראשונה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

נחשב את זמן תנועת גוף 1 מרגע תחילת תנועתו ועד לרגע המפגש:

$Error converting from MathML to accessible text.$

זמני תנועת הגופים מרגע תחילת תנועתם ועד לרגע המפגש הם:

$Error converting from MathML to accessible text.$

כדי למצוא את מקום המפגש נציב את אחד מזמני המפגש בפונקציית המקום זמן המתאימה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

לכן, הגופים נפגשים בפעם השנייה במיקום X=27.2m כעבור 12.14 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1 .

לסיכום:

הגופים נפגשים פעמיים:

פעם ראשונה: כעבור 2.5 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1, במפגש זה גוף 2 נמצא במנוחה.

ופעם שנייה: כעבור 12.14 שניות מרגע תחילת תנועת גוף 1, במפגש זה גוף 2 נמצא בתנועה.