פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות:

פתרונות פרקטיקות קינמטיקה בקו ישר 1- פונקציות

5. שני גופים נעים בתנועות שונות

5.4.

שני הגופים נעים בתנועות מואצות, גוף 1 נע ימינה במהירות הולכת וקטנה(תאוצה שלילית), הוא נעצר רגעית ונע חזרה שמאלה.

גוף 2 נע שמאלה במהירות הולכת וגדלה(תאוצה חיובית) , נעצר רגעית ונע חזרה ימינה.

הגופים נפגשים פעמיים , נכתוב את נתוני תנועת הגופים:

$begin mathsize 20px style bold X subscript bold 02 bold equals bold 8 bold m bold V subscript bold 2 bold equals bold minus bold 10 bold m over bold s bold a subscript bold 2 bold equals bold 2 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$ $begin mathsize 20px style bold X subscript bold 01 bold equals bold 3 bold m bold V subscript bold 01 bold equals bold 10 bold m over bold s bold a subscript bold 1 bold equals bold minus bold 2 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

נכתוב לכל גוף פונקציית מקום בתלות בזמן מתאימה:

$begin mathsize 22px style bold X subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold x subscript bold 02 bold space bold plus bold space bold v subscript bold 02 bold times bold t bold space bold plus bold space bold 1 over bold 2 bold times bold a subscript bold 2 bold times bold t to the power of bold 2 bold space bold space bold X subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold minus bold space bold 10 bold times bold t bold space bold plus bold space bold 1 over bold 2 bold times bold left parenthesis bold 2 bold right parenthesis bold times bold t to the power of bold 2 bold space bold space box enclose bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold minus bold space bold 10 bold t bold space bold plus bold space bold t to the power of bold 2 end enclose bold space bold space end style$ $begin mathsize 22px style bold X subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold x subscript bold 01 bold space bold plus bold space bold v subscript bold 01 bold times bold t bold space bold plus bold space bold 1 over bold 2 bold times bold a bold times bold t to the power of bold 2 bold space bold space bold X subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 10 bold times bold t bold space bold plus bold space bold 1 over bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis bold times bold t to the power of bold 2 bold space bold space box enclose bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 10 bold t bold space bold minus bold space bold t to the power of bold 2 end enclose bold space bold space end style$

ברגע המפגש 't מיקום הגופים הוא זהה, ומתקיים: $begin mathsize 22px style bold x subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold equals bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold apostrophe bold right parenthesis end style$ .

כדי למצוא את זמן המפגש 't נשווה בין פונקציות המקום זמן.

$begin mathsize 22px style space space space space space space space space space space space space space space space space space bold X subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold equals bold x subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold apostrophe bold right parenthesis bold space bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 10 bold t bold apostrophe bold space bold minus bold space bold t bold apostrophe to the power of bold 2 bold space bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold minus bold space bold 10 bold t bold apostrophe bold space bold plus bold space bold t bold apostrophe to the power of bold 2 end style$

נסדר את המשוואה הריבועית, ונמצא את הפתרונות שלה:

$begin mathsize 22px style bold space bold 3 bold space bold plus bold space bold 10 bold t bold apostrophe bold space bold minus bold space bold t bold apostrophe to the power of bold 2 bold space bold space bold equals bold space bold 8 bold space bold minus bold space bold 10 bold t bold apostrophe bold space bold plus bold space bold t bold apostrophe to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t bold apostrophe to the power of bold 2 bold plus bold space bold 20 bold times bold t bold apostrophe bold minus bold 5 bold equals bold 0 end style$

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold comma bold 2 end subscript bold equals fraction numerator bold minus bold 20 bold plus-or-minus square root of bold left parenthesis bold 20 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold minus bold 4 bold times bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis bold times bold left parenthesis bold minus bold 5 bold right parenthesis end root over denominator bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 20 bold plus-or-minus square root of bold 400 bold minus bold 40 end root over denominator bold minus bold 4 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 20 bold plus-or-minus bold 18 bold. bold 97 over denominator bold minus bold 4 end fraction bold t subscript bold 1 bold apostrophe bold equals bold 0 bold. bold 25 bold italic s bold t subscript bold 2 bold apostrophe bold equals bold 9 bold. bold 74 bold italic s end style$

לסיכום: שני הגופים נעים בהתחלה ,האחד כלפי השני ונפגשים בתוך 0.25 , לאחר מכן הם מהירויות הגופים קטנות ,הגופים נעצרים רגעית, וחוזרים חזרה ונפגשים שוב בפעם השנייה, כעבור 9.74 שניות מרגע תחילת תנועת הגופים.