פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית: 2001,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית

הקודם: 13. 2002,1- حركة جسمين في حركة أفقية

הבא: 15. 2000,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

14. 2001,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

קישור להדפסת השאלה

______________________________________________________________________________________

...

نسبة لمحور حركة إتجاهه نحو الأسفل، فإن دالة الموقع كدالة للزمن للكرة "أ" هي: y₁(t) = 5.t²

يجب عليك اختيار محور الحركة ووصف موقع الكرة بالنسبة لهذا المحور كدالة للزمن، وذلك بمساعدة دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة للحركة بتسارع ثابت.

نختار محور حركة يبدأ من نقطة رمي الكرتين (عند ارتفاع سقف المبنى) ويتجه نحو الأسفل.

بالنسبة إلى هذا المحور، تكون سرعة الكرتين دائمًا موجبة وتتزايد.

نكتب معطيات حركة الكرة "أ" نسبة لمحور الحركة الذي تم اختياره:

$bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold m over bold s bold italic a bold equals bold plus bold italic g$

نستخدم دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة لوصف حركة جسم يتحرك بتسارع ثابت:

$bold italic X bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$

من الملائم اختيار بداية المحور عند نقطة الرمي بحيث يكون موقع بداية الكرة بالنسبة للمحور صفراً، ومن الأفضل اختيار اتجاه المحور نحو لأسفل ، بحيث تكون سرعة الكرة تزداد ، وعندها تتحرك مع بتسارع موجب.

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

بالنسبة إلى نفس المحور ، فإن التعبير عن موقع الكرة "ب" كدالة للزمن هو: $begin mathsize 20px style bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end style$ .

undefined

يختلف زمن حركة الكرة "ب" عن زمن حركة الكرة "أ". لذلك ، يجب وصف دالة الموقع كدالة للزمن بدلالة زمن الحركة t₂. واستخدم دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة لحركة بتسارع منتظم.

نكتب معطيات حركة الكرة "ب" ، بالنسبة إلى محور الحركة المحدد.
$begin mathsize 20px style bold Y subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 0 bold m bold V subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 14 bold m over bold s bold a bold equals bold plus bold g end style$
وفقًا لذلك، نكتب التعبير الخاص بموقع الكرة 2 كدالة للزمن:
$begin mathsize 20px style bold italic Y bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 box enclose bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end enclose end style$

من المهم وصف دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين نسبة لنفس المحور، بحيث يكون لكل منهما في لحظة الإلتقاء نفس قيمة X.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold equals bold 2 bold. bold 25 bold s end style$

يتناول هذا السؤال حركة جسمين يتحركان في أزمنة مختلفة من الحركة. يجب الحصول على معادلة الأزمنة من مقارنة دالتي الموقع كدالة للزمن للجسمين. ومعادلة زمنية أخرى من الفارق بين زمني بداية حركة الجسمين.

نقارن بين دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين:
$begin mathsize 20px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold equals bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis end style$
$begin mathsize 20px style box enclose bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end enclose end style$

يتم تحرير الكرة "أ" ثانية واحدة بعد رمي الكرة "ب". لذلك ، فإن زمن حركة الكرة "أ" أكبر بمقدار ثانية واحدة من زمن حركة الكرة "ب".

نكتب معادلة الزمن :

$begin mathsize 20px style box enclose bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 end enclose end style$

لإيجاد t₁ ، عبّر عن t₂ من معادلة الزمن الثانية:

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 rightwards double arrow bold space box enclose bold t subscript bold 2 bold equals bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 end enclose end style$

نعوّض التعبير t₂ في المعادلة المرة لأولى:

$begin mathsize 20px style bold 14 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses bold plus bold 5 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 14 bold plus bold 5 open parentheses bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 1 close parentheses bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 14 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 14 bold plus up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 5 bold equals bold space up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold 4 bold times bold t subscript bold 1 bold equals bold 9 bold t subscript bold 1 bold equals bold 9 over bold 4 bold equals bold 2 bold. bold 25 bold S end style$

لذلك ، بعد 2.25 ثانية من لحظة إطلاق الكرة A. الكرتان تلتقيان.

تتعلق إمكانية التقاء الجسمين عندما يتحركان في حركة بالستية أيضًا على ارتفاع المبنى. جميع الحسابات التي تم إجراؤها في هذا القسم لا تشير إلى ارتفاع المبنى ، والافتراض هو أن المبنى طويل بما يكفي بحيث تلتقي الكرات في الهواء بعد 2.25 ثانية من لحظة إطلاق الكرة "أ".

______________________________________________________________________________________

...

سرعة الكرة "أ" بعد ثانية واحدة من رميها هي 10 أمتار في الثانية.

تتحرك الكرة "أ" من حالة السكون بتسارع ثابت مقداره 10 أمتار في الثانية المربعة. من الممكن إيجاد سرعتها في اللحظة t = 1s ، بمساعدة دالة السرعة كدالة للزمن المناسبة للحركة بتسارع ثابت.

تتحرك الكرة بتسارع 10 أمتار في الثانية المربعة، وبالتالي تزداد سرعة الكرة بمقدار 10 أمتار في الثانية في كل ثانية أثناء حركتها.

يمكن حساب هذه السرعة باستخدام دالة السرعة كدالة للزمن:

$begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold equals bold 0 bold plus bold 10 bold times bold t bold V bold left parenthesis bold 1 bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold 10 bold times bold 1 bold equals bold 10 bold m over bold s end style$

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

undefined

أي حركة يتحرك فيها الجسم تحت تأثير الجاذبية فقط (الحركة البالستية). هي حركة ذات تسارع ثابت ومعروف g. الحركة العمودية هي حالة خاصة للحركة مع تسارع ثابت. على سطح الأرض ، تتحرك جميع الأجسام التي تتحرك تحت تأثير الجاذبية فقط بتسارع ثابت قدره 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.

______________________________________________________________________________________

...

لن تلتقي الكرتان.

إذا تقلص البعد بينهما أثناء حركتهما، فإن الكرات حتمًا ستلتقي، بالإضافة إلى ذلك، إذا حاولنا إيجاد زمن إلتقاء الكرتين التي لا تصطدم، فسنحصل على معادلة لا معنى لها.

في هذه الحالة ، بعد ثانية واحدة ، تتحرك الكرتان بنفس السرعة. لا يقل البعد بينهما ، ولن تلتقي الكرتان.

نجد زمن الالتقاء في هذه الحالة:

سنقارن بين دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين:

$begin mathsize 20px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold equals bold Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis end style$

$begin mathsize 20px style box enclose bold 10 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end enclose end style$

نكتب معادلة الزمن الإضافي:

$begin mathsize 20px style box enclose bold t subscript bold 1 bold space bold equals bold space bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 end enclose end style$

لإيجاد t₁ ، نُعبّر عن t₂ من معادلة الزمن الإضافية:

نعوّض التعبير t₂ أعلاه في المعادلة الأولى:

$begin mathsize 20px style bold 10 bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 10 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses bold plus bold 5 bold times open parentheses bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 close parentheses to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 10 bold plus bold 5 open parentheses bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold plus bold 1 close parentheses bold equals bold space bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 down diagonal strike bold 10 bold times bold t subscript bold 1 end strike bold minus bold 10 bold plus up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus down diagonal strike bold 10 bold times bold t subscript bold 1 end strike bold plus bold 5 bold equals bold space up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold minus bold 5 bold equals bold 0 end style$

لقد حصلنا على معادلة بدون حل ، ولا توجد قيمة لـ t تحقق المعادلة ، وبالتالي لا توجد أيضًا لحظة تلتقي فيها الكرتان.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:

undefined

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.

נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:

undefined

כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

undefined

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

undefined

קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

ليس دائمًا في حالة عدم وجود حل يكون هناك خطأ جبري، وفي بعض الحالات يكون الافتقار إلى الحل هو الحل الصحيح. كما في هذه الحالة ، الكرتان لا تلتقيان، وحقيقة عدم وجود حل رياضي لزمن الالتقاء تشير إلى أن الكرتان لا تلتقيان.

______________________________________________________________________________________