פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית: 2001,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית

السابق: 13. 2002,1- حركة جسمين في حركة أفقية

التالي: 15. 2000,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

14. 2001,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

קישור להדפסת השאלה

______________________________________________________________________________________

...

نسبة لمحور حركة إتجاهه نحو الأسفل، فإن دالة الموقع كدالة للزمن للكرة "أ" هي: y₁(t) = 5.t²

يجب عليك اختيار محور الحركة ووصف موقع الكرة بالنسبة لهذا المحور كدالة للزمن، وذلك بمساعدة دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة للحركة بتسارع ثابت.

نختار محور حركة يبدأ من نقطة رمي الكرتين (عند ارتفاع سقف المبنى) ويتجه نحو الأسفل.

بالنسبة إلى هذا المحور، تكون سرعة الكرتين دائمًا موجبة وتتزايد.

نكتب معطيات حركة الكرة "أ" نسبة لمحور الحركة الذي تم اختياره:

$bold italic Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ bold italic m‏ ‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق زائد‏ bold italic g‏$

نستخدم دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة لوصف حركة جسم يتحرك بتسارع ثابت:

$bold italic X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic X دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏$

من الملائم اختيار بداية المحور عند نقطة الرمي بحيث يكون موقع بداية الكرة بالنسبة للمحور صفراً، ومن الأفضل اختيار اتجاه المحور نحو لأسفل ، بحيث تكون سرعة الكرة تزداد ، وعندها تتحرك مع بتسارع موجب.

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

بالنسبة إلى نفس المحور ، فإن التعبير عن موقع الكرة "ب" كدالة للزمن هو: $begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 end style$ .

undefined

يختلف زمن حركة الكرة "ب" عن زمن حركة الكرة "أ". لذلك ، يجب وصف دالة الموقع كدالة للزمن بدلالة زمن الحركة t₂. واستخدم دالة الموقع كدالة للزمن المناسبة لحركة بتسارع منتظم.

نكتب معطيات حركة الكرة "ب" ، بالنسبة إلى محور الحركة المحدد.
$begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 14‏ غامق m على غامق s‏ ‏ غامق a‏ غامق يساوي‏ غامق زائد‏ غامق g end style$
وفقًا لذلك، نكتب التعبير الخاص بموقع الكرة 2 كدالة للزمن:
$begin mathsize 20px style bold italic Y‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ محاط صندوق غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

من المهم وصف دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين نسبة لنفس المحور، بحيث يكون لكل منهما في لحظة الإلتقاء نفس قيمة X.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 25‏ غامق s end style$

يتناول هذا السؤال حركة جسمين يتحركان في أزمنة مختلفة من الحركة. يجب الحصول على معادلة الأزمنة من مقارنة دالتي الموقع كدالة للزمن للجسمين. ومعادلة زمنية أخرى من الفارق بين زمني بداية حركة الجسمين.

نقارن بين دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين:
$begin mathsize 20px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ end style$
$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

يتم تحرير الكرة "أ" ثانية واحدة بعد رمي الكرة "ب". لذلك ، فإن زمن حركة الكرة "أ" أكبر بمقدار ثانية واحدة من زمن حركة الكرة "ب".

نكتب معادلة الزمن :

$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1 نهاية محاط end style$

لإيجاد t₁ ، عبّر عن t₂ من معادلة الزمن الثانية:

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1‏ سهم مزدوج متجه يمين ً ا‏ غامق تباعد‏ محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 نهاية محاط end style$

نعوّض التعبير t₂ في المعادلة المرة لأولى:

$begin mathsize 20px style غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 14‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 14‏ غامق زائد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ ‏ غامق 4‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 9‏ ‏ ‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 9 على غامق 4‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 25‏ غامق S end style$

لذلك ، بعد 2.25 ثانية من لحظة إطلاق الكرة A. الكرتان تلتقيان.

تتعلق إمكانية التقاء الجسمين عندما يتحركان في حركة بالستية أيضًا على ارتفاع المبنى. جميع الحسابات التي تم إجراؤها في هذا القسم لا تشير إلى ارتفاع المبنى ، والافتراض هو أن المبنى طويل بما يكفي بحيث تلتقي الكرات في الهواء بعد 2.25 ثانية من لحظة إطلاق الكرة "أ".

______________________________________________________________________________________

...

سرعة الكرة "أ" بعد ثانية واحدة من رميها هي 10 أمتار في الثانية.

تتحرك الكرة "أ" من حالة السكون بتسارع ثابت مقداره 10 أمتار في الثانية المربعة. من الممكن إيجاد سرعتها في اللحظة t = 1s ، بمساعدة دالة السرعة كدالة للزمن المناسبة للحركة بتسارع ثابت.

تتحرك الكرة بتسارع 10 أمتار في الثانية المربعة، وبالتالي تزداد سرعة الكرة بمقدار 10 أمتار في الثانية في كل ثانية أثناء حركتها.

يمكن حساب هذه السرعة باستخدام دالة السرعة كدالة للزمن:

$begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t‏ ‏ غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 10‏ غامق m على غامق s end style$

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

undefined

أي حركة يتحرك فيها الجسم تحت تأثير الجاذبية فقط (الحركة البالستية). هي حركة ذات تسارع ثابت ومعروف g. الحركة العمودية هي حالة خاصة للحركة مع تسارع ثابت. على سطح الأرض ، تتحرك جميع الأجسام التي تتحرك تحت تأثير الجاذبية فقط بتسارع ثابت قدره 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.

______________________________________________________________________________________

...

لن تلتقي الكرتان.

إذا تقلص البعد بينهما أثناء حركتهما، فإن الكرات حتمًا ستلتقي، بالإضافة إلى ذلك، إذا حاولنا إيجاد زمن إلتقاء الكرتين التي لا تصطدم، فسنحصل على معادلة لا معنى لها.

في هذه الحالة ، بعد ثانية واحدة ، تتحرك الكرتان بنفس السرعة. لا يقل البعد بينهما ، ولن تلتقي الكرتان.

نجد زمن الالتقاء في هذه الحالة:

سنقارن بين دالتي الموقع كدالة للزمن للكرتين:

$begin mathsize 20px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ end style$

$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

نكتب معادلة الزمن الإضافي:

لإيجاد t₁ ، نُعبّر عن t₂ من معادلة الزمن الإضافية:

نعوّض التعبير t₂ أعلاه في المعادلة الأولى:

$begin mathsize 20px style غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق زائد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 نهاية التشطيب‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ ‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق 0 end style$

لقد حصلنا على معادلة بدون حل ، ولا توجد قيمة لـ t تحقق المعادلة ، وبالتالي لا توجد أيضًا لحظة تلتقي فيها الكرتان.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:

undefined

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.

נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:

undefined

כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

undefined

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

undefined

קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

ليس دائمًا في حالة عدم وجود حل يكون هناك خطأ جبري، وفي بعض الحالات يكون الافتقار إلى الحل هو الحل الصحيح. كما في هذه الحالة ، الكرتان لا تلتقيان، وحقيقة عدم وجود حل رياضي لزمن الالتقاء تشير إلى أن الكرتان لا تلتقيان.

______________________________________________________________________________________