פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית: 2000,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות" - קינמטיקה בקו ישר בערבית

הקודם: 14. 2001,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

הבא: 16. 1999,1- جدول للمكان كدالة للزمن

15. 2000,1- جسمان يتحركان في حركة باليستية

______________________________________________________________________________________

...

80 مترًا.

تتحرك الكرة "أ" بتسارع ثابت ، وتم وصف حركة الكرة بالنسبة إلى المحور الموجّه نحو الأعلى ، وبالتالي فإن تسارع الكرة يكون سالبًا.

בנקודת שיא הגובה המהירות של הכדור היא אפס.

نتطرق إلى حركة الكرة "أ" ، من لحظة الرمي إلى لحظة وصولها إلى قمة ارتفاعها. نسبة لمحور الحركة الذي تم اختياره في السؤال.

نكتب معطيات الحركة:

$bold italic V subscript bold 0 bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic V bold equals bold 0 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g bold increment bold italic y bold equals bold italic h bold equals bold ?$

يمكن التعبير عن إزاحة الحركة من التعبير لمربع السرعات.

$bold italic V to the power of bold 2 bold equals bold italic V subscript bold 0 to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold times bold italic a bold times bold increment bold italic y$

نعوّض معطيات الحركة ونجد إزاحة الحركة ، هذه الإزاحة تساوي أقصى ارتفاع ستصل إليه الكرة في حركتها.

$bold space bold increment bold italic y bold equals fraction numerator bold V to the power of bold 2 bold minus bold V subscript bold 0 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 0 to the power of bold 2 bold minus bold 40 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 10 bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 1600 over denominator bold minus bold 20 end fraction bold equals bold 80 bold italic m$

يتم تحديد ارتفاع الجسم من خلال البعد بين الجسم والأرض ، ويوصف موقع الجسم بالنسبة لمحور المكان. هذان شيئان مختلفان. في هذه الحالة ، تقع بداية محور المكان على الأرض ، ويكون اتجاهها نحو الأعلى بحيث تكون قيمة الارتفاع مماثلة لقيمة الموقع. لا يكون الموقع دائمًا هو نفس الارتفاع.

______________________________________________________________________________________

...

بعد 8 ثوان.

تتحرك الكرة "أ" بتسارع الجاذبية ، تسارع ثابت قدره 10 أمتار لكل ثانية مربعة. من الممكن تحليل حركته بالنسبة لمحور الحركة بمساعدة الدوال المناسبة للحركة بتسارع ثابت.

نتطرق إلى حركة الكرة من لحظة رميها لأعلى حتى لحظة إصابتها الأرض (حتى تعود إلى نقطة الرمي). نصف الحركة نسبة لمحور الحركة الوارد في السؤال.

نكتب معطيات الحركة:

$bold italic V subscript bold 0 bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g bold increment bold italic y bold equals bold 0 bold italic t bold equals bold ?$

طريقة "أ" : لإيجاد زمن الحركة ، يمكنك استخدام دالة الموقع كدالة للزمن لحركة بتسارع ثابت.

$bold italic X bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2$

نعوّض معطيات الحركة ونجد الزمن t:

$bold 0 bold equals bold 0 bold plus bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold 40 bold times bold italic t bold equals bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic t bold equals bold 40 over bold 5 bold equals bold 8 bold italic s$

لذلك ، فإن الزمن المنقضي من لحظة رمي الكرة إلى لحظة اصابتها الأرض هو 8 ثوانٍ.

طريقة "ب": من تعبير مربع السرعات عندما تكون الإزاحة مساوية للصفر ، فإن السرعة النهائية تساوي في المقدار السرعة الابتدائية. لذلك ، هذه السرعات متساوية لكن مع الإشارات المعاكسة (اتجاهات الحركة المعاكسة).

لذلك يمكن القول أنه في هذه الحركة يتحقق : $bold italic V bold equals bold minus bold italic V subscript bold 0$

نستخدم دالة السرعة كدالة للزمن , $bold italic V bold equals bold italic V subscript bold 0 bold plus bold italic a bold times bold italic t$ نعبر عن زمن الحركة ونستخدم العلاقة $bold italic V bold equals bold minus bold italic V subscript bold 0$ .

$bold italic t bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold V subscript bold 0 bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 2 bold V subscript bold 0 over denominator bold minus bold g end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 2 bold times bold 40 over denominator bold minus bold 10 end fraction bold equals bold 8 bold italic s$

للتلخيص: الكرة تتحرك بتسارع الجاذبية، كل ثانية تقل سرعتها بمقدار 10 أمتار في الثانية، وسرعتها البدائية 40 مترًا في الثانية ، وبالتالي بعد 4 ثوانٍ تصبح سرعة الكرة صفرًا ، (وتتوقف في نقطة قمة الارتفاع ). وقتزمن الهبوط يساوي زمن الصعود ، الزمن الكلي الذي يمر من لحظة رمي الكرة لأعلى حتى تعود إلى نقطة الرمي هو 8 ثوان.

يجدر بنا أن نتذكر أن زمن الصعود يساوي زمن الهبوط ، ومن الجدير أيضًا أن نتذكر أن السرعة التي يقذف بها الجسم لأعلى تساوي في المقدار (في إشارة عكسية) للسرعة التي أصاب بها الجسم الارض. تحتاج إلى معرفة كيفية إثبات ذلك، واستخدام دوال الحركة.

______________________________________________________________________________________

...

بعد 5 ثوان.

تتحرك كلتا الكرتين تحت تأثير الجاذبية فقط ، لذلك تتحركان بتسارع الجاذبية g. زمن حركة كل منهما متساوٍ ، يجب كتابة الموقع كدالة للزمن لكل كرة. وإيجاد زمن الحركة من مقارنة الدالتين .

بدأت الكرتان بالحركة في نفس اللحظة، وكلاهما تتحركان تحت تأثير الجاذبية فقط ، وبالتالي فإن تسارعهما 10 متر لكل ثانية مربعة.
نكتب معطيات الحركة ودالة الموقع كدالة للزمن للكرة "أ"، ونشير للكرة "أ" على أنها الجسم 1:

$bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 0 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold equals bold 40 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g$
$bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
نكتب معطيات الحركة ودالة الموقع كدالة للزمن للكرة "أ"، ونشير للكرة "ب" على أنها الجسم 2:
$bold italic Y subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold 300 bold italic m bold italic V subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold equals bold minus bold 20 bold m over bold s bold italic a bold equals bold minus bold italic g$

$bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
نجد زمن الإلتقاء من خلال مقارنة دالتي الموقع كدالة للزمن:
$bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold 40 bold times bold italic t bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold 60 bold times bold italic t bold equals bold 300 bold space bold italic t bold equals bold 5 bold italic s bold space$
لذلك ، تلتقي الكرتان بعد مرور 5 ثوانٍ من لحظة بدئهما في التحرك.

نظرًا لأن الكرتين تتحركان بنفس التسارع ، فهناك لحظة واحدة فقط تلتقي فيها الكرتان. في المعادلة التي تم الحصول عليها من مقارنة دالتي الموقع كدالة للزمن. تُختزَل الحدود مع مربع الزمن. ويتم الحصول على معادلة خطية هناك لحظة واحدة فقط تلتقي فيها الكرتان. إذا كانت تسارع الكرتين مختلف ، فيمكن أن تلتقي الكرتان أكثر من مرة.

______________________________________________________________________________________

...

البعد بين الكرتين يساوي الفرق في موقعي الكرتين. لذلك يجب تعريف دالة جديدة y₃(t) حسب: y₂(t) - y₁(t). ومن ثم وصف الدالة في رسم بياني.

نُعرّف دالة جديدة Y₃ تصف البعد بين الكرتين كدالة للزمن:

نُعرّف الدالة الجديدة بدلالة الدالتين : $bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$ ו - $bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2$
بحيث أن الدالة $bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$ تصف في أي لحظة البعد بين الكرتين:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold italic Y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold minus bold italic Y subscript bold 1 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$
نعوّض الدالتين:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold left parenthesis bold 40 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold right parenthesis$

نُبسّط التعبير:
$bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 20 bold times bold italic t bold minus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 40 bold times bold italic t bold plus bold 5 bold times bold italic t to the power of bold 2 box enclose bold Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 300 bold space bold minus bold 60 bold times bold t end enclose$

نصف الدالة $bold italic Y subscript bold 3 bold left parenthesis bold italic t bold right parenthesis$ في الرسم البياني للموقع كدالة للزمن:

المنطق وراء الرسم البياني - في اللحظة t = 0 البعد بين الكرتين 300 متر. تتغير سرعتا الكرتين بنفس الوتيرة (كلاهما يتحركان مع تسارع الجاذبية) لذلك يكون فرق السرعة بين الكرتين ثابتًا (60 مترًا في الثانية). البعد بين الكرتين يقل خطيًا بمقدار 60 مترًا كل ثانية ،

في البداية كانت المسافة بين الكرتين 300 متر. وبعد 5 ثوانٍ تلتقي الكرتين ويكون البعد بينهما صفرًا.

يجب فحص مدى ملاءمة التعبير الذي تم الحصول عليه للبعد بين الكرتين في أزمنة مهمة: في لحظة بداية حركة الكرتين ، وفي لحظة إلتقائهما.

______________________________________________________________________________________