אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2013,1-גרף מקום זמן

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

7. 2013,1-גרף מקום זמן

______________________________________________________________________________________

...

מהירות ממוצעת היא מהירות קבועה , המייצגת תנועה במהירות משתנה, היא מוגדרת לפי היחס בין ההעתק הכולל שעבר הגוף בתנועתו לזמן התנועה הכולל.

חשוב להבין את משמעות המהירות הממוצעת ולהכיר את הגדרתה.

הגדרת המהירות הממוצעת לא כתובה בדפי הנוסחאות.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

שווה לה.

ניתן לחשב את גודל המהירות הממוצעת , או להראות באופן כללי שהמהירויות הממוצעות שוות.

שתי הסירות עוברות העתק זהה שגודלו 4 ק"מ בזמן תנועה זהה 230 שניות , לכן מהגדרת המהירות הממוצעת של הסירות היא זהה.

$begin mathsize 20px style top enclose top enclose bold V end enclose bold equals fraction numerator bold כולל bold increment bold X over denominator bold כולל bold increment bold t end fraction end style$

לשתי הסירות מהירות ממוצעת זהה.

בגרף מקום בתלות בזמן המהירות הממוצע בקטע תנועה מסוים נתונה לפי שיפוע מיתר החוצה את הפונקציה בנקודת תחילת וסוף התנועה.

לשתי הסירות יש מיתר זהה , עבור תנועתן ב 230 השניות הראשונות, לכן מהירותו הממוצעת היא זהה.

______________________________________________________________________________________

...

התאוצה שלילית.

בגרף מקום בתלות בזמן המשמעות של השיפוע היא מהירות. תאוצה חיובית כאשר המהירות הולכת וגדלה , והתאוצה שלילית כאשר המהירות הולכת וקטנה.

ב 80 שניות אלו , שיפוע הגרף הולך וקטן , לכן מהירות הסירה הולכת וקטנה. והתאוצה היא שלילית.

גרף המקום בתלות בזמן לא ליניארי, אך התאוצה קבועה.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold a bold equals bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

בשמונים השניות האחרונות נעה סירה ב' בתאוצה קבועה , ניתן ללמוד על נתוני התנועה בשמונים שניות אלו , ולהשתמש באחת מהפונקציות המתאימות לתנועה בתאוצה קבועה כדי לחשב את תאוצת סירה ב' , בשמונים השניות האחרונות לתנועתה

.
נתייחס לתנועת סירה ב' מרגע t=150s ועד t=230s , מהגרף ניתן לראות שהעתק התנועה הוא 1000 מטר , וזמן התנועה הוא 80 שניות.
עד לרגע t=150s הסירה נעה במהירות קבועה. מהירות זו היא המהירות בה התחילה הסירה את תנועתה המואצת. נחשב מהירות זו מתוף שיפוע הגרף ב 150 השניות הראשונות.
$bold italic v bold equals fraction numerator bold increment bold x over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 3000 bold minus bold 0 over denominator bold 150 bold minus bold 0 end fraction bold equals bold 3000 over bold 150 bold equals bold 20 bold m over bold s$
נכתוב את נתוני התנועה המואצת:

$bold italic v subscript bold 0 bold equals bold 20 bold m over bold s bold increment bold italic x bold equals bold 1000 bold italic m bold italic t bold equals bold 80 bold italic s bold italic a bold equals bold ?$

אפשר למצוא את התאוצה בעזרת פונקציית המקום זמן לתנועה מואצת:

$bold italic x bold equals bold italic x subscript bold 0 bold plus bold italic v subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2$

נבטא את התאוצה:

$x minus x subscript 0 minus v subscript 0 times t equals 1 half times a times t squared increment x minus v subscript 0 times t equals 1 half times a times t squared bold italic a bold equals fraction numerator bold 2 bold left parenthesis bold increment bold x bold minus bold v subscript bold 0 bold times bold t bold right parenthesis over denominator bold t to the power of bold 2 end fraction$

נציב את נתוני התנועה בביטוי התאוצה שקבלנו, ונמצא את התאוצה:

$bold italic a bold equals fraction numerator bold 2 bold left parenthesis bold increment bold x bold minus bold v subscript bold 0 bold times bold t bold right parenthesis over denominator bold t to the power of bold 2 end fraction bold equals fraction numerator bold 2 bold left parenthesis bold 1000 bold minus bold 20 bold times bold 80 bold right parenthesis over denominator bold 80 to the power of bold 2 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 1200 over denominator bold 6400 end fraction bold equals bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold m over bold s to the power of bold 2$

בד"כ כדי לחשב נתון מסוים של התנועה , יש למצוא את סוג התנועה (מהירות קבועה, או תאוצה קבועה) . את כל נתוני התנועה האפשריים, ולהשתמש באחת מפונקציות התנועה, כדי למצוא את נתון התנועה המבוקש.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

בקטע התנועה הראשון סירה ב' , נעה במהירות קבועה , ובקטע התנועה השני הסירה נעה בתאוצה קבועה.

סירה ב' , נעה במהירות קבועה שגודלה 20 מטר לשנייה. במשך 150 שניות.
לאחר מכן במשך 80 שניות נעה סירה ב' בתאוצה קבועה שגודלה 0.1875- מטר לשנייה בריבוע.
כדי לתאר את הגרף באופן כמותי מלא, נמצא את מהירות הסירה ברגע t=230s.

נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן, עבור 80 השניות האחרונות:
$begin mathsize 20px style bold V bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold equals bold 20 bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold times bold 80 bold equals bold 5 bold m over bold s end style$

לכן תיאור הגרף הוא:

לאחר מכן במשך 80 שניות נעה סירה ב' בתאוצה קבועה שגודלה 0.1875- מטר לשנייה בריבוע.

כדי לתאר את הגרף באופן כמותי מלא, נמצא את מהירות הסירה ברגע t=230s.

נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן, עבור 80 השניות האחרונות:

$begin mathsize 20px style bold V bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold equals bold 20 bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold times bold 80 bold equals bold 5 bold m over bold s end style$

נתאר את הגרף:

ובשמונים השניות האחרונות לתנועתה , נעה הסירה בתאוצה קבועה שגודלה 0.1875- מטר לשנייה בריבוע.

נמצא את מהירות הסירה ברגע t=230s , בעזרת פונקציית מהירות בתלות בזמן:

$begin mathsize 20px style bold V bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold equals bold 20 bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold times bold 20 bold equals bold 5 bold m over bold s end style$

נתאר את הגרף:

לאחר מכן נע הסירה בתאוצה שלילית שגודלה 0.1875- מטר לשנייה בריבוע.

כדי לתאר את הגרף באופן מלא , נמצא את מהירות הסירה ברגע t=230s.

נתייחס לתנועת הסירה בשמונים השניות האחרונות , נשתמש בפונקציית מהירות בתלות בזמן:

$begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 20 bold minus bold 0 bold. bold 1875 bold times bold 80 bold equals bold 5 bold m over bold s end style$

באופן כללי , יש להוסיף לגרף ערכים חשובים. במקרה זה היה חשוב למצוא את מהירות סירה ב' , ברגע t= 230s.

______________________________________________________________________________________