אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2008,1-שני גופים גרף מהירות זמן

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

הבא: 13. 2006,1-שני גופים גרפי מהירות זמן

12. 2008,1-שני גופים גרף מהירות זמן

קישור להדפסת השאלה - דף ראשון

קישור להדפסת השאלה - דף שני

______________________________________________________________________________________

...

הוכחה משיפוע הגרף. משמעות המשפט: המהירות גדלה בכל שנייה בשני מטר לשנייה.

בגרף מהירות בתלות בזמן משמעות שיפוע הגרף היא התאוצה. יש להכיר את משמעות התאוצה. התאוצה מתארת בכמה משתנה המהירות בכל שנייה.

נחשב את שיפוע הגרף:
$begin mathsize 20px style bold a bold equals fraction numerator bold increment bold V over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 30 bold minus bold 0 over denominator bold 15 bold minus bold 0 end fraction bold equals bold 2 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$
משמעות המשפט :"תאוצת האופנוע היא 2 מטר לשנייה בריבוע " היא שבכל שנייה גדלה מהירות האופנוע ב שני מטר לשנייה.
מהירות האופנוע גדלה במשך 15 שניות ב 30 מטר לשנייה.

לכל גודל פיזיקלי יש משמעות, חשוב להבין את המשמעות של כל הגדלים הפיזיקליים. את המשמעות של כל גודל פיזיקלי ניתן להבין מהגדרתו.

______________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold italic a bold equals bold minus bold 2 bold. bold 5 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

ניתן למצוא את תאוצת המכונית בפרק הזמן הנתון בשאלה מחישוב שיפוע הפונקציה באותו פרק זמן.

בגרף מהירות בתלות בזמן שיפוע הגרף שווה לתאוצת הגוף. נמצא את שיפוע הגרף בזמן שבין t=5s t=15s.
במילים אחרות נשתמש בהגדרת התאוצה:
$bold italic a bold equals fraction numerator bold increment bold v over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold t bold minus bold t subscript bold 0 end fraction bold equals fraction numerator bold 0 bold minus bold 25 over denominator bold 15 bold minus bold 5 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 25 over denominator bold 10 end fraction bold equals bold minus bold 2 bold. bold 5 bold m over bold s to the power of bold 2$

בסוגריים מופיע ביחס לציר הנתון , מכיוון שכיוון ציר התנועה משפיע על סימן התאוצה. הגרף מתאר את המהירות ביחס לציר הנתון ,לכן התאוצה המתקבלת מחישוב השיפוע בגרף גם היא ביחס לציר הנתון.

______________________________________________________________________________________

...

ברגע t=15s האופנוע משיג את המכונית.

המיקומים ההתחלתיים נתונים בשאלה, בעזרת הגרף ניתן למצוא את ההעתק של כל אחד משני כלי הרכב. בעזרת המיקומים ההתחלתיים וההעתקים ניתן למצוא את המיקום ברגע t=15s.

המיקום ההתחלתי של האופנוע הוא X0=30m . והמיקום ההתחלתי של המכונית הוא X0=0m.

בגרף מהירות בתלות בזמן השטח התחום בין הגרף לציר הזמן שווה להעתק הגוף.
נמצא את ההעתק של כל אחד מכלי הרכב בעזרת הגרף, נסמן את המכונית כגוף 1 , ואת האופנוע כגוף 2:

נחשב את ההעתק המכונית בהתאם לשטח התחום מתחת לגרף המתאר את תנועת המכונית :

$bold increment bold italic x subscript bold 1 bold equals bold 5 bold times bold 25 bold plus fraction numerator bold left parenthesis bold 25 bold times bold 10 bold right parenthesis over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 125 bold plus bold 125 bold equals bold 250 bold italic m$

נחשב את ההעתק האופנוע בהתאם לשטח התחום מתחת לגרף המתאר את תנועת האופנוע :

$bold increment bold italic x subscript bold 2 bold equals fraction numerator bold 15 bold times bold 30 over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 225 bold italic m$

נמצא את המיקום של כל אחד משני כלי הרכב ברגע t=15s :

$begin mathsize 20px style bold X subscript bold 1 bold equals bold X subscript bold 0 subscript bold 1 end subscript bold plus bold increment bold X subscript bold 1 bold equals bold 0 bold plus bold 250 bold equals bold 250 bold m bold X subscript bold 2 bold equals bold X subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold plus bold increment bold X subscript bold 2 bold equals bold 30 bold plus bold 225 bold equals bold 255 bold m end style$

ההעתק של האופנוע קטן מההעתק של המכונית, אך בגלל המיקומים ההתחלתיים

ברגע t=15s האופנוע משיג את המכונית .

השאלה עוסקת במיקום הגופים ולא בהעתק תנועתם, לכן חשוב להתייחס גם למיקומים ההתחלתיים.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

פעמיים.

זו שאלת היגיון. יש לבדוק את מיקומי כלי הרכב בזמנים חשובים: ברגע תחילת תנועתם. ברגע t=5s, וברגע t=15s.

ברגע תחילת התנועה האופנוע מוביל ב 30 מטרים.

בחמשת השניות הראשונות העתק המכונית הוא 125 מטר, והעתק האופנוע 25 מטרים בלבד.

בהתאם למיקומים ההתחלתיים ולהעתקי התנועות, ברגע t=5s המכונית מובילה על האופנוע.

מכיוון שהאופנוע מוביל ברגע t=0s והמכונית מובילה ברגע t=5s , ניתן לקבוע ששני כלי הרכב נפגשו בחמש השניות הראשונות.

מכיוון שהמכונית מובילה ברגע t=5s , והאופנוע מוביל ברגע t=15s , ניתן לקבוע ששני כלי הרכב נפגשו פעם נוספת בעשר השניות האחרונות.

בסה"כ מרגע t=0s ועד רגע t=15s נפגשו שני כלי הרכב פעמיים.

העתק המכונית ב 5 השניות הראשונות הוא 125 מטר. והעתק האופנוע הוא 25 מטר בלבד. ברגע t=5s האופנוע משיג את המכונית.

ברגע t=0s האופנוע מוביל, וברגע t=5s המכונית מובילה לכן בהכרח שהם נפגשו פעם אחת ב 5 השניות הראשונות.

ב 10 השניות האחרונות , מהירות המכונית קטנה ומהירות האופנוע , וכפי שמצאנו בסעיף קודם ברגע t=15s האופנוע שוב מוביל על המכונית.

לכן בהכרח ב 10 השניות האחרונות הם נפגשו פעם נוספת.

בסה"כ שני כלי הרכב נפגשו פעמיים במשך כל 15 השניות.

במשך 5 השניות הראשונות המכונית מתקדמת 125 מטר. (קל לראות זאת בשטח התחום בתנועת המכונית ב 5 השניות הראשונות) והאופנוע מתקדם 25 מטר.לכן במהלך 5 השניות הראשונות המכונית השיגה את האופנוע. כלי הרכב נפגשו פעם אחת בחמש השניות הראשונות.

לאחר 5 השניות הראשונות מהירות המכונית קטנה ומהירות האופנוע גדלה, ומצאנו שבתום התנועה האופנוע מוביל על המכונית, לכן הם נפגשו פעם נוספת ב 10 השניות האחרונות לתנועתם.

בסך הכל נפגשו כלי הרכב פעמיים בכל 15 השניות.

בשאלה כזו מומלץ לערוך הדמיה של תנועת כלי הרכב, אפשר להשתמש לשם כך במחק ומחדד או בכל שני עצמים זמינים. להזיז את העצמים ולתעד באופן מילולי את תנועתם, ולספור את מספר הפעמים שהם חולפים האחד על פני השני.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

המהירות הממוצעת של האופנוע יותר קטנה מהמהירות הממוצעת של המכונית.

זמני התנועה של האופנוע ושל המכונית הם זהים. ההעתקים שונים , מהגדרת המהירות הממוצעת לכל אחד משני כי הרכב יש מהירות ממוצעת שונה.

מצאנו כי עפ"י השטח התחום הגרף העתק המכונית הוא 250 מטר. והעתק האופנוע הוא 225 מטר.
זמני התנועה זהים , לכן מהגדרת המהירות הממוצעת :

$top enclose bold V bold space bold equals fraction numerator bold כולל bold increment bold x over denominator bold כולל bold increment bold t end fraction$

לכן המהירות הממוצעת של האופנוע קטנה יותר.

זמני התנועה זהים , לכן מהגדרת המהירות הממוצעת :

$top enclose bold V bold space bold equals fraction numerator bold כולל bold increment bold x over denominator bold כולל bold increment bold t end fraction$

לכן המהירות הממוצעת של האופנוע קטנה יותר.

המיקום הסופי של האופנוע יותר גדול מהמיקום הסופי של המכונית, אך המהירות הממוצעת של האופנוע יותר קטנה מהמהירות הממוצעת של המכונית. זה נובע מכך שהמיקום הסופי תלוי במיקום ההתחלתי , אך המהירות הממוצעת איננה תלויה במיקום ההתחלתי.

______________________________________________________________________________________

...

ברגע t=8.33s

מהגרף ניתן לראות שלשני כלי הרכב יש מהירות זהה לאחר t=5s, כאשר המכונית נע בתאוצה שלילית. אפשר לכתוב פונקצית מהירות בתלות בזמן לאופנוע מרגע t=0s ופונקציית מהירות בתלות בזמן למכונית מרגע t=5s , ולהשוות בין שתי פונקציות אלו כדי למצוא את הרגע בו מהירות האופנוע שווה למהירות המכונית.

מהגרף ניתן לראות שמהירות שני כלי הרכב שווה כאשר המכונית נעה בתאוצה שלילית.
מכיוון שהתאוצות קבועות, נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן לתיאור מהירות כל אחד מכלי הרכב בתנועות אלו.

נתייחס לאופנוע כגוף מספר 1,נכתוב את פונקציית $begin mathsize 20px style bold v subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ המתאימה לתיאור תנועת האופנוע:
$begin mathsize 22px style bold v subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 bold plus bold italic a subscript bold 1 bold times bold italic t subscript bold 1 bold v subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 2 bold times bold italic t subscript bold 1 end style$
נתייחס למכונית כגוף מספר 2,נכתוב פונקציית $begin mathsize 20px style bold v subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ המתאימה לתיאור תנועת המכונית:

$begin mathsize 22px style bold v subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold italic V subscript bold 02 bold plus bold italic a subscript bold 2 bold times bold italic t subscript bold 2 bold v subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold 25 bold minus bold 2 bold. bold 5 bold times bold italic t subscript bold 2 end style$
נכתוב משוואת זמנים המקשרת בין t1 ל t2. ברגע המפגש זמן האצת המכונית קטן ב 5 שניות מזמן האצת האופנוע, לכן:
$begin mathsize 22px style box enclose bold t subscript bold 1 bold equals bold t subscript bold 2 bold plus bold 5 end enclose end style$
ברגע בו מהירויות כלי הרכב שוות מתקיים: V1 =V2. נשווה בין פונקציות המהירות:

$begin mathsize 22px style bold v subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold equals bold v subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis box enclose bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold equals bold 25 bold minus bold 2 bold. bold 5 bold times bold t subscript bold 2 end enclose end style$

נפתור את מערכת המשואות .ונמצא את t1 ו- t2:
$begin mathsize 22px style bold 2 bold times bold italic t subscript bold 1 bold equals bold 25 bold minus bold 2 bold. bold 5 bold times bold italic t subscript bold 2 end style$
$begin mathsize 22px style bold 2 bold times bold left parenthesis bold italic t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold right parenthesis bold equals bold 25 bold minus bold 2 bold. bold 5 bold times bold italic t subscript bold 2 bold 2 bold times bold italic t subscript bold 2 bold plus bold 10 bold equals bold 25 bold minus bold 2 bold. bold 5 bold times bold italic t subscript bold 2 bold 4 bold. bold 5 bold italic t subscript bold 2 bold equals bold 15 bold italic t subscript bold 2 bold equals bold 3 bold. bold 333 bold italic s end style$

נציב את t2 ,ונמצא את t1.
$begin mathsize 22px style bold italic t subscript bold 1 bold equals bold italic t subscript bold 2 bold plus bold 5 bold italic t subscript bold 1 bold equals bold 3 bold. bold 33 bold plus bold 5 bold equals bold 8 bold. bold 33 bold italic s end style$

לכן מהירויות כלי הרכב זהות כעבור 8.33 שניות מרגע תחילת תנועת האופנוע.

undefined
נציב את t2 ,ונמצא את t1.
undefined

לכן מהירויות כלי הרכב זהות כעבור 8.33 שניות מרגע תחילת תנועת האופנוע.

1. אפשר להתייחס לשאלה זו כאל שאלה בפונקציות במתמטיקה , נתונות שתי פונקציות יש למצוא את נקודת החיתוך של הפונקציות.
2. לא ניתן לתאר את שתי תנועות המכונית בפונקציה אחת, ההשוואה היא בין פונקציית מהירות זמן של האופנוע לפונקציית מהירות זמן של המכונית, ההתייחסות למכונית היא כאל תנועה שהתחילה 5 שניות לאחר תחילת תנועת האופנוע.

2. לא ניתן לתאר את שתי תנועות המכונית בפונקציה אחת, ההשוואה היא בין פונקציית מהירות זמן של האופנוע לפונקציית מהירות זמן של המכונית, ההתייחסות למכונית היא כאל תנועה שהתחילה 5 שניות לאחר תחילת תנועת האופנוע.

2. המכונית נעה בשתי תנועות שונות, ולא ניתן לתאר את שתי התנועות בפונקציה אחת. לכן בתיאור תנועת המכונית , יש לכתוב את פונקציית המהירות בתלות בזמן לתנועה השנייה, בה מהירות המכונית שווה למהירות האופנוע (תנועה שהתחילה 5 שניות לאחר תחילת תנועת האופנוע), והמהירות ההתחלתית בתנועה זו היא המהירות הסופית של התנועה הראשונה.

______________________________________________________________________________________