אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2006,1-שני גופים גרפי מהירות זמן

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

הקודם: 12. 2008,1-שני גופים גרף מהירות זמן

הבא: 14. 2003,1-שני גופים נזרקים אנכית,הפרש זמנים

13. 2006,1-שני גופים גרפי מהירות זמן

קישור להדפסת השאלה - דף ראשון

קישור להדפסת השאלה - דף שני

______________________________________________________________________________________

...

מכונית א' נעה בשלוש תנועות שונות , בכל אחת משלושת התנועות נעה המכונית בתאוצה קבועה , יש למצוא את גודל התאוצה משיפוע הגרף.

נחשב את התאוצה של המכונית בכל אחת משלושת התנועות:

התנועה ראשונה, ב 10 השניות הראשונות:

$begin mathsize 20px style bold a subscript bold 1 bold equals fraction numerator bold increment bold V over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 6 bold minus bold 0 over denominator bold 10 bold minus bold 0 end fraction bold equals bold 6 over bold 10 bold equals bold 0 bold. bold 6 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

התנועה השנייה, במשך 40 שניות לאחר , 10 השניות הראשונות.:

$begin mathsize 20px style bold a subscript bold 2 bold equals fraction numerator bold increment bold V over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 10 bold minus bold 6 over denominator bold 50 bold minus bold 10 end fraction bold equals bold 4 over bold 40 bold equals bold 0 bold. bold 1 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

התנועה השלישית, ב 10 השניות האחרונות:

$begin mathsize 20px style bold a subscript bold 3 bold equals fraction numerator bold increment bold V over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 10 bold minus bold 10 over denominator bold 60 bold minus bold 50 end fraction bold equals bold 0 over bold 10 bold equals bold 0 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

נתאר את תאוצת מכונית א' בגרף של התאוצה בתלות בזמן:

התנועה ראשונה, ב 10 השניות הראשונות:

undefined

התנועה השנייה, במשך 40 שניות לאחר , 10 השניות הראשונות.:
undefined

התנועה השלישית, ב 10 השניות האחרונות:
undefined

נתאר את תאוצת מכונית א' בגרף של התאוצה בתלות בזמן:

בשאלה זו התאוצה משתנה באפס שניות, במציאות התאוצה לא משתנה באפס זמן.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

bold כולל bold increment bold X bold equals bold 450 bold m

יש למצוא את ההעתק של כל אחד משלושת קטעי התנועה, ולסכום את שלושת ההעתקים.

דרך א': ההעתק הכולל שעברה מכונית א' , שווה לשטח התחום בין הפונקציה לציר הזמן, במשך 60 שניות:
$bold increment bold italic x bold equals fraction numerator bold 10 bold times bold 6 over denominator bold 2 end fraction bold plus fraction numerator bold left parenthesis bold 6 bold plus bold 10 bold right parenthesis bold times bold 40 over denominator bold 2 end fraction bold plus bold 10 bold times bold 10 bold equals bold 30 bold plus bold 320 bold plus bold 100 bold equals bold 450 bold italic m$

דרך ב': ניתן גם להשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתאוצה קבועה כדי למצוא את ההעתק בכל אחד משלושת התנועות.
המרחק שעברה המכונית מרגע תחילת תנועתה ועד שהגיעה לקו הסיום שווה לסכום שלושת העתקים אלו.

$begin mathsize 18px style bold increment bold italic x subscript bold 1 bold equals bold italic V subscript bold 0 subscript bold 1 bold times bold italic t subscript bold 1 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a subscript bold 1 bold times bold italic t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold 0 bold times bold 10 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold 0 bold. bold 6 bold times bold 10 to the power of bold 2 bold equals bold 30 bold italic m bold increment bold italic x subscript bold 2 bold equals bold italic V subscript bold 0 subscript bold 2 bold times bold italic t subscript bold 2 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a subscript bold 2 bold times bold italic t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold equals bold 6 bold times bold 40 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold 0 bold. bold 1 bold times bold 140 to the power of bold 2 bold equals bold 320 bold italic m bold increment bold italic x subscript bold 3 bold equals bold italic V subscript bold 0 subscript bold 3 bold times bold italic t subscript bold 3 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a subscript bold 3 bold times bold italic t subscript bold 3 to the power of bold 2 bold equals bold 10 bold times bold 10 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold 0 bold times bold 10 to the power of bold 2 bold equals bold 100 bold italic m bold כולל bold increment bold italic x bold equals bold increment bold italic x subscript bold 1 bold plus bold increment bold italic x subscript bold 2 bold plus bold increment bold italic x subscript bold 3 bold equals bold 30 bold plus bold 320 bold plus bold 100 bold equals bold 450 bold italic m end style$
לכן , המרחק בין נקודת תחילת התנועה לנקודת הסיום , לאורכו נעה מכונית א' הוא 450 מטרים.

המשמעות של שטח כל משבצת בגרף מהירות זמן זה היא העתק של 10 מטר. מומלץ להעריך את ערך ההעתק הכולל , מהשטח התחום כדי להעריך את נכונות התשובה שהתקבלה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

העתק מכונית א' ב 30 השניות הראשונות הוא: 170 מטר.
העתק מכונית ב' ב 30 השניות הראשונות הוא: 130 מטר.

יש למצוא את השטח התחום בין הפונקציה לציר הזמן של כל אחת מהמכונית ב 30 השניות הראשונות.

נחשב את השטח התחום בגרף א' , בין הפונקציה לציר הזמן ב 30 השניות הראשונות לתנועת מכונית א':
$bold increment bold italic X subscript bold 1 bold equals fraction numerator bold 10 bold times bold 6 over denominator bold 2 end fraction bold plus fraction numerator bold left parenthesis bold 8 bold plus bold 6 bold ׁׁ bold right parenthesis bold times bold 20 over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 30 bold plus bold 140 bold equals bold 170 bold italic m$

נחשב את השטח התחום בגרף ב' . בין הפונקציה לציר הזמן ב 30 השניות הראשונות ,לתנועת מכונית ב':
$bold increment bold italic X subscript bold 2 bold equals fraction numerator bold 10 bold times bold 2 over denominator bold 2 end fraction bold plus fraction numerator bold left parenthesis bold 2 bold plus bold 10 bold ׁׁ bold right parenthesis bold times bold 20 over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 10 bold plus bold 120 bold equals bold 130 bold italic m$

מומלץ למצוא את השטח לפני החישוב בדף טיוטה , ורק לאחר מכן לחשב את ההעתק בפתרון מסודר ולהשוות בין הפתרונות, כדי למנוע טעויות חישוב.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

כן,היה רגע שבו שתי המכוניות היו במרחק זהה מנקודת המפגש.

זאת שאלת היגיון, כאשר המכוניות נפגשו מרחקים מנקודת המוצא זהה, יש להבין כיצד נעו המכוניות, ולנמק באופן מילולי אם הן נפגשו או לא נפגשו.

מהתשובה של סעיף ג' מכונית א' מובילה על מכונית ב' ברגע t=30s. נתון שמכונית ב' מגיעה לקו הסיום לפני מכונית א' .

לכן, ניתן לקבוע שהיה רגע, במהלך המירוץ שבו המכוניות נפגשו, ברגע זה שתי המכוניות היו באותו מרחק מנקודת המוצא.

לכן, ניתן לקבוע שהיה רגע, במהלך המירוץ שבו המכוניות נפגשו, ברגע זה שתי המכוניות היו באותו מרחק מנקודת המוצא.

בשאלה כתב שמכונית ב' מגיעה לקו הסיום לפני מכונית א' . לכן בהכרח קיים רגע בו מכונית ב' חולפת על פני מכונית א' בין רגע t=30s , לבין רגע סיום תנועתה. ברגע זה המכוניות נפגשות , והמרחק בין כל אחת מהמכוניות לנקודת המוצא הוא זהה.

השאלה אם יש רק רגע שבו המכוניות היו במרחק זהה מנקודת המפגש היא שאלה זהה לשאלה האם המכוניות נפגשו , לפעמים שאלות הבגרות מוצגות בצורה מעט שונה, זה חלק מהאתגר אתו תלמיד נדרש להתמודד בבחינה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold a bold equals bold 0 bold. bold 102 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

כדי למצוא את תאוצת מכונית ב' בקטע האחרון של תנועתה , יש לדלות נתונים על תנועתה בקטע התנועה האחרון. נתון שמכונית ב' נעה בתאוצה קבועה, לכן אפשר להשתמש בפונקציות המתאימות לתנועה בתאוצה קבועה.

נתייחס לתנועת מכונית ב' מרגע t=30s , ועד שהמכונית הגיעה לקו הסיום.
-נמצא את זמן תנועת מכונית ב' בקטע התנועה האחרון:
מכונית א' נעה במשך 60 שניות, מכונית ב' נעה באותו המסלול והגיעה שתי שניות קודם, לכן בסה"כ מכונית ב' נעה במשך 58 שניות. לכן החל מרגע t=30s ועד הרגע בו מכונית ב' חוצה את קו הסיום(התנועה אליה אני מתייחסים) היא נעה במשך 28 שניות.

-נמצא את העתק תנועת מכונית ב' בקטע התנועה האחרון:
ברגע t=30s מכונית ב' נמצאת במקום x=130m , אורך המסלול כפי שניתן לראות מתנועת מכונית א' הוא 450 מטר, לכן החל מרגע t=30s ועד הרגע בו מכונית ב' חוצה את קו הסיום העתק תנועתה הוא 320 מטר.

נכתוב את נתוני התנועה:

$bold italic t bold equals bold 28 bold italic s bold increment bold italic x bold equals bold 320 bold italic m bold italic V subscript bold 0 bold equals bold 10 bold m over bold s bold italic a bold equals bold ?$
ניתן להשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה , ולבטא ממנה את תאוצת מכונית ב':

$bold increment bold italic x bold equals bold italic V subscript bold 0 bold times bold italic t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold italic a bold times bold italic t to the power of bold 2 bold italic a bold equals fraction numerator bold increment bold x bold minus bold V subscript bold 0 bold times bold t over denominator begin display style bold 1 over bold 2 end style bold times bold t to the power of bold 2 end fraction bold equals fraction numerator bold 320 bold minus bold 10 bold times bold 28 over denominator begin display style bold 1 over bold 2 end style bold times bold 28 to the power of bold 2 end fraction bold equals bold 40 over bold 392 bold equals bold 0 bold. bold 102 bold m over bold s to the power of bold 2$

בשאלה זו יש לדלות חלק מנתוני תנועת מכונית ב' מתנועת מכונית א' . יש לתאר את תהליך דליית הנתונים בכתב. כדי לא להגיע למסקנות פזיזות.

______________________________________________________________________________________