אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2003,1-שני גופים נזרקים אנכית,הפרש זמנים

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

הקודם: 13. 2006,1-שני גופים גרפי מהירות זמן

14. 2003,1-שני גופים נזרקים אנכית,הפרש זמנים

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שראשיתו בקרקע: $begin mathsize 18px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 1 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end style$

בהתאם לנאמר בשאלה, כיוון הציר הוא כלפי מעלה, יש לבחור את מיקום ראשית הציר, ולהשתמש בפונקציית המקום בתלות בזמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה. מכיוון שכיוון הציר הוא כלפי מעלה סימן התאוצה חייב להיות שלילי.

נבחר ציר שראשיתו בקרקע , וכיוונו כלפי מעלה , המיקום ההתחלתי הוא אפס. המהירות ההתחלתית היא V1.

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:

$begin mathsize 18px style bold y bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold y subscript bold 0 bold plus bold V subscript bold 0 bold times bold t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold a bold times bold t to the power of bold 2 end style$

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:

$begin mathsize 18px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 1 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end style$

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:

undefined

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:

undefined

אפשר לתאר את תנועת האבן ביחס לציר שראשיתו לא נמצאת בקרקע. במקרה כזה המקום ההתחלתי יהיה שונה מאפס. הסעיפים הבאים עוסקים בתנועת שני גופים הנעים בזמנים שונים , לכן כדאי כבר מעכשיו לסמן את זמן תנועת האבן הראשונה ב t1 ולא ב t.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שראשיתו בקרקע: $begin mathsize 18px style bold italic y subscript bold 2 bold left parenthesis bold italic t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold italic V subscript bold 2 bold times bold italic t subscript bold 2 bold minus bold 5 bold times bold italic t subscript bold 2 to the power of bold 2 end style$

גם האבן השנייה נזרקה מהקרקע אך בזמן שונה, ויש לתאר את תנועת האבן מרגע זריקתה , נגדיר זמן חדש t2 המתאר את מיקום האבן בתלות בזמן מרגע זריקתה .

ביחס לציר בו השתמשנו לתיאור האבן הראשונה, גם המיקום ההתחלתי של האבן השנייה הוא אפס.
המהירות ההתחלתית היא V2.

הצורה הכללית של פונקציית המקום בתלות בזמן היא:
$begin mathsize 18px style bold y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis bold equals bold y subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold plus bold V subscript bold 0 subscript bold 2 end subscript bold times bold t subscript bold 2 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold a subscript bold 2 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end style$

לכן במקרה זה , ביטוי המקום בתלות בזמן המתאים לתנועת האבן הוא:
$begin mathsize 18px style bold y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 2 bold times bold t subscript bold 2 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end style$

אפשר לבטא את המקום של האבן השנייה בתלות ב t1 ו T , יותר פשוט להגדיר זמן זה כ t2.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold equals bold 1 bold. bold 035 bold s end style$

מהשוואת שתי פונקציות המקום בתלות בזמן מתקבלת משוואה אחת עם שני נעלמים t1 t2. ובהתאם להפרש בזמני הזריקה T מתקבלת משוואה נוספת באותם הנעלמים, מפתרון שתי משוואות בשני נעלמים ניתן למצוא את זמני התנועה של כל אבן מרגע זריקתה ועד רגע המפגש.

נשווה בין שתי פונקציות המקום זמן של האבנים, ונקבל משוואת זמנים :

$begin mathsize 18px style bold y subscript bold 1 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold right parenthesis bold equals bold y subscript bold 2 bold left parenthesis bold t subscript bold 2 bold right parenthesis end style$

$begin mathsize 18px style bold V subscript bold 1 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold V subscript bold 2 bold times bold t subscript bold 2 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 box enclose bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold 12 bold times bold t subscript bold 2 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 end enclose end style$
משוואת זמנים נוספת נקבעת בהתאם לזמני זריקת הכדורים:
האבן הראשונה נזרקה T שניות לפני האבן השנייה.
לכן זמן תנועת האבן הראשונה גדול מזמן תנועת האבן השנייה ב T שניות:

$begin mathsize 20px style bold t subscript bold 1 bold equals bold t subscript bold 2 bold plus bold T box enclose bold t subscript bold 1 bold equals bold t subscript bold 2 bold plus bold 0 bold. bold 5 end enclose end style$

נפתור את מערכת המשוואות, כדי למצוא את t1. נציב את t2 מהמשוואה השנייה במשוואה הראשונה:
$begin mathsize 20px style bold t bold 1 bold equals bold t bold 2 bold plus bold 0 bold. bold 5 bold space bold rightwards double arrow box enclose bold t subscript bold 2 bold equals bold t subscript bold 1 bold minus bold 0 bold. bold 5 end enclose end style$

$begin mathsize 18px style bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold 12 bold times bold t subscript bold 2 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 2 to the power of bold 2 bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold 12 bold times bold left parenthesis bold t bold 1 bold minus bold 0 bold. bold 5 bold right parenthesis bold minus bold 5 bold times bold left parenthesis bold t subscript bold 1 bold minus bold 0 bold. bold 5 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold equals bold 12 bold times bold t bold 1 bold minus bold 12 bold times bold 0 bold. bold 5 bold minus bold 5 bold left parenthesis bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold times bold t subscript bold 1 bold times bold 0 bold. bold 5 bold plus bold 0 bold. bold 5 to the power of bold 2 bold right parenthesis bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold minus up diagonal strike bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold equals bold 12 bold times bold t bold 1 bold minus bold 12 bold times bold 0 bold. bold 5 up diagonal strike bold minus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 to the power of bold 2 end strike bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 5 bold times bold 0 bold. bold 5 to the power of bold 2 bold 10 bold times bold t subscript bold 1 bold equals bold 12 bold times bold t bold 1 bold minus bold 6 bold plus bold 5 bold times bold t subscript bold 1 bold minus bold 1 bold. bold 25 bold minus bold 7 bold times bold t subscript bold 1 bold equals bold minus bold 7 bold. bold 25 bold t subscript bold 1 bold equals fraction numerator bold 7 bold. bold 25 over denominator bold 7 end fraction bold equals bold 1 bold. bold 035 bold S end style$

לכן, האבנים יפגשו כעבור 1.035 שניות מרגע זריקת האבן הראשונה .

undefined

undefined

משוואת זמנים נוספת נקבעת בהתאם לזמני זריקת הכדורים:

האבן הראשונה נזרקה T שניות לפני האבן השנייה.

לכן זמן תנועת האבן הראשונה גדול מזמן תנועת הבאן השנייה ב T שניות:

undefined

נפתור את מערכת המשוואות, כדי למצוא את t1. נציב את t2 מהמשוואה השנייה במשוואה הראשונה:
undefined

undefined

לכן,האבנים יפגשו כעבור 1.035 שניות מרגע זריקת האבן הראשונה .

כאשר זמני תנועת הגופים עד למפגש הם שונים , תלמידים נוטים לקצר את מהלך הפתרון להוסיף תיקון קטן ל t . למשל t1-0.5 אך התלמידים לא בטוחים אם זה פלוס חצי או מינוס לחצי, ל t1 או ל t2 . לכן עדיף לכתוב שתי משוואות זמנים נפרדות ולפתור מערכת משוואות .

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

לאחר 0.9 שניות.

יש למצוא את זמן התנועה של כל אחת מהאבנים מרגע הזריקה ועד לרגע הפגיעה, ולהתייחס לעובדה שהאבן השנייה נזרקה חצי שנייה לאחר זריקת האבן הראשונה.

האבן נזרקת מפני הקרקע וחוזרת לפני הקרקע , העתק התנועה הוא אפס . מביטוי ריבוע המהירויות גודל מהירות הפגיעה כגודל מהירות הזריקה, כיוון תנועת האבן ברגע הפגיעה בקרקע הפוך לכיוון תנועת האבן ברגע הזריקה:    $bold V subscript bold 0 bold equals bold minus bold V$

נשתמש בפונקציית המהירות בתלות בזמן $bold V bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t$ , נכתוב ביטוי לזמן תנועת כל אחת מהאבנים, מרגע הזריקה ועד רגע הפגיעה בקרקע :
$bold t bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold a end fraction$

נחשב את זמן התנועה של כל אחת מהאבנים, מרגע הזריקה ועד רגע החזרה לקרקע:
$bold t subscript bold 1 bold equals fraction numerator bold V subscript bold 1 bold minus bold V subscript bold 01 over denominator bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 10 bold minus bold left parenthesis bold minus bold 10 bold right parenthesis over denominator bold 10 end fraction bold equals bold 20 over bold 10 bold equals bold 2 subscript bold S bold t subscript bold 2 bold equals fraction numerator bold V subscript bold 2 bold minus bold V subscript bold 02 over denominator bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 12 bold minus bold left parenthesis bold minus bold 12 bold right parenthesis over denominator bold 10 end fraction bold equals bold 24 over bold 10 bold equals bold 2 bold. bold 4 subscript bold S$
אם האבנים היו נזרקות יחד בו זמנית, האבן השנייה הייתה מגיע לקרקע 0.4 שניות לאחר פגיעת האבן הראשונה, אך מכיוון שהאבן השנייה נזרקה 0.5 שניות לאחר האבן הראשונה, האבן השנייה תפגע בקרקע 0.9 שניות לאחר פגיעת האבן הראשונה.

לא תמיד קל מיד להבין את התנועה, במיוחד כאשר מדובר על שתי תנועות בזמנים שונים , מומלץ לערוך הדמיה של התנועה בעזרת מחק , מחדד וכ"ו , כדי לחדד את הבנת התנועות לפני הסקת המסקנות. לאחר הבנה טובה של התנועות, הרבה יותר קל להגיע בהיגיון ובביטחון לתשובה הנכונה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

יש לתאר את הפונקציות בגרף מקום בתלות בזמן, הפונקציות הן פרבולות "בוכות" מכיוון שהמקדם שלהן הוא שלילי , חשוב לסמן את הזמנים המופיעים בסעיפים הקודמים.

נסכם את נתוני תנועת האבנים, מהסעיפים הקודמים :
1. אם האבן הראשונה נזרקה ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקה ברגע t=0.5s
2.האבן הראשונה פוגעת בקרקע שתי שניות לאחר שנזרקה
3. האבן השנייה פוגעת בקרקע 2.4 שניות לאחר זריקתה, זאת אומרת 2.9 שניות לאחר זריקת אבן הראשונה.
4. ברגע t=1.03s שת י האבנים נמצאות באותו גובה.
5. האבן הראשונה נזרק במהירות גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר.

1. אם האבן הראשונה נזרקה ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקה ברגע t=0.5s
2.האבן הראשונה פוגעת בקרקע שתי שניות לאחר שנזרקה
3. האבן השנייה פוגעת בקרקע 2.4 שניות לאחר זריקתה, זאת אומרת 2.9 שניות לאחר זריקת אבן הראשונה.
4. ברגע t=1.03s שת י האבנים נמצאות באותו גובה.
5. האבן הראשונה נזרק במהירות גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר.

שתי האבנים נעים בתאוצות שליליות זהות, לכן הצורה הכללית של שתי הפרבולות היא זהה.

מהירות האבן השנייה גדולה יותר לכן היא מגיעה לגובה גדול יותר. האבן השנייה נזרקה חצי שנייה לאחר מכן, לכן הגרף המתאר את תנועתה מתחיל ברגע t=0.5s.

ברגע t=1.035s האבנים נפגשות.

האבן הראשונה נזרקת ברגע t=0s , האבן השנייה נזרקת ברגע t=0.5s.

האבן הראשונה פוגעת בקרקע 2 שניות לאחר זריקתה. והאבן השנייה פוגעת בקרקע 0.9 שניות לאחר מכן.

הגרף הבא מתאר את תנועת שתי האבנים:

באופן כללי יש שני סוגים של תיאורים גרפיים: תיאור איכותי שלא כולל ערכים . ותיאור כמותי הכולל ערכים חשובים. בגרף זה היה חשוב לתאר גם את הגובה המקסימאלי אליו מגיעה כל אבן. אך מכיוון שבשאלה נאמר מפורש שאין צורך בחישובים נוספים, אפשר להשאיר את הגרף ללא ערכי הגבהים.

______________________________________________________________________________________