אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

السابق: 15. 2002,1-שני גופים תנועה אופקית

التالي: 17. 2000,1-שני גופים נעים בליסטית

16. 2001,1-שני גופים נעים בליסטית

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לציר שכיוונו כלפי מטה , פונקציית המקום בתלות בזמן של כדור א' היא: $begin mathsize 18px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2 end style$

יש לבחור ציר תנועה ולתאר ביחס לציר את מקום הכדור בתלות בזמן , בעזרת פונקציית מקום זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

נבחר ציר תנועה שראשית בנקודת שחרור הכדורים (בגובה גג הבניין) וכיוונו כלפי מטה.


ביחס לציר זה מהירות הכדורים תמיד חיובית והיא הולכת וגדלה.

נכתוב את נתוני התנועה של כדור א' ביחס לציר התנועה הנבחר:

   $bold italic Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ bold italic m‏ ‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m على غامق s‏ ‏ bold italic a‏ غامق يساوي‏ غامق زائد‏ bold italic g‏$
נשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתיאור תנועתו של גוף הנע בתאוצה קבועה:

$bold italic X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic X دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 5‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏$

נוח לבחור את ראשית הציר בנקודת הזריקה כך שהמיקום ההתחלתי של הכדור ביחס לציר יהיה אפס, ואת כיוון הציר נוח לבחור כלפי מטה, כך שהמהירות הכדור תגדל , והוא ינוע בתאוצה חיובית.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

ביחס לאותו ציר , ביטוי מיקום כדור ב' בתלות בזמן הוא: $begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 end style$ .

undefined

זמן תנועת כדור ב' שונה מזמן תנועת כדור א'. לכן יש לתאר את פונקציית המקום זמן בתלות בזמן תנועה t2 . ולהשתמש בפונקציית המקום זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

נכתוב את נתוני התנועה של כדור ב' , ביחס לציר התנועה הנבחר.
$begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 2 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 14‏ غامق m على غامق s‏ ‏ غامق a‏ غامق يساوي‏ غامق زائد‏ غامق g end style$
נכתוב בהתאם את ביטוי מקום כדור 2 בתלות בזמן :
$begin mathsize 20px style bold italic Y‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ bold italic V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ bold italic t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ bold italic a‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ محاط صندوق غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

חשוב לתאר את שתי פונקציות המקום זמן של הכדורים ביחס לאותו ציר, כדי שברגע המפגש יהיה לשניהם ערך זהה של X.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 25‏ غامق s end style$

שאלה זו עוסקת בתנועת שני גופים הנעים בזמני תנועה שונים. יש לקבל משוואת זמנים מהשוואת פונקציות המקום זמן של הגופים. ומשוואת זמנים נוספת מהפרש הזמנים בתחילת תנועות הגופים.

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:
$begin mathsize 20px style غامق y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ end style$
$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.
נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:
$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1 نهاية محاط end style$
כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1‏ سهم مزدوج متجه يمين ً ا‏ غامق تباعد‏ محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 نهاية محاط end style$

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

$begin mathsize 20px style غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 14‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 14‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 14‏ غامق زائد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ ‏ غامق 4‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 9‏ ‏ ‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 9 على غامق 4‏ غامق يساوي‏ غامق 2‏ غامق.‏ غامق 25‏ غامق S end style$

לכן כעבור 2.25 שניות מרגע שחרור כדור א' . שני הכדורים נפגשים.

האפשרות ששני הגופים יפגשו כאשר הם נעים בתנועה בליסטית תלויה גם בגובה הבניין. כל החישובים שנעשו בסעיף זה לא מתייחסים לגובה הבניין, ההנחה היא שהבניין מספיק גבוה כך שלאחר 2.25 שניות מרגע שחרור כדור א' הכדורים נפגשים באוויר.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

המהירות של כדור א' לאחר שנייה מרגע שחרורו היא 10 מטר לשנייה.

כדור א' נע ממנוחה בתאוצה קבועה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע. אפשר למצוא את מהירותו ברגע t=1s , בעזרת פונקצית מהירות זמן המתאימה לתנועה בתאוצה קבועה.

הכדור נע בתאוצה שגודלה 10 מטר לשנייה בריבוע , לכן בכל שנייה בזמן תנועתו מהירות הכדור גדלה ב 10 מטר לשנייה . ברגע t=1s מהירות הכדור היא 10 מטר לשנייה.

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

$begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t‏ ‏ غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق 10‏ غامق m على غامق s end style$

ניתן לחשב מהירות זו בעזרת פונקציית מהירות זמן:

undefined

כל תנועה בה גוף נע בהשפעת כוח הכובד בלבד(תנועה בליסטית) . היא תנועה בתאוצה קבועה וידועה g . תנועה אנכית היא מקרה פרטי של תנועה בתאוצה קבועה. על פני כדור הארץ כל הגופים הנעים בהשפעת כוח הכבדה בלבד נעים בתאוצת קבועה שגודלה 9.8 מטר לשנייה בריבוע.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

הכדורים לא היו נפגשים.

אם בזמן תנועת הכדורים המרחק ביניהם הולך וקטן הכדורים יפגשו , אחרת הם לא יפגשו. בנוסף אם ננסה למצוא את זמן המפגש של כדורים שאינן מתנגשים נקבל משוואה חסרת משמעות .

במקרה זה כעבור שנייה שני הכדורים נעים במהירות זהה. המרחק ביניהם לא הולך וקטן ,והכדורים לא יפגשו.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية محاط end style$

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.
נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:
$begin mathsize 20px style محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1 نهاية محاط end style$
כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :
$begin mathsize 20px style غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 1‏ سهم مزدوج متجه يمين ً ا‏ غامق تباعد‏ محاط صندوق غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 نهاية محاط end style$

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

$begin mathsize 20px style غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 2 أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق في‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 1 غلق القوس أّسّ غامق 2‏ غامق تباعد‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ فتح القوس غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1‏ غامق زائد‏ غامق 1 غلق القوس‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2‏ ‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق زائد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ غامق ناقص‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق 10‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 نهاية التشطيب‏ غامق زائد‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق تباعد‏ تشطيب مائل نحو الأعلى غامق 5‏ غامق في‏ غامق t دليل سفلي غامق 1 أّسّ غامق 2 نهاية التشطيب‏ ‏ غامق ناقص‏ غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق 0 end style$
קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

נמצא את זמן המפגש במקרה זה:

נשווה בין פונקציות המקום זמן של שני הכדורים:

undefined

כדור א' משוחרר שנייה אחת לפי שכדור ב' נזרק. לכן, זמן התנועה של כדור א' גדול בשנייה אחת מזמן התנועה של כדור ב'.

נכתוב את משוואת הזמנים הנוספת:

undefined

כדי למצוא את t1 ,נבטא את t2 ממשוואת הזמנים השנייה :

undefined

נציב את ביטוי t2 במשוואת הזמנים הראשונה:

undefined

קבלנו משוואה ללא פתרון, אין ערך של t המקיים את המשוואה, לכן גם אין רגע בו נפגשים שני הכדורים.

לא תמיד כאשר אין פתרון יש טעות אלגברית , במקרים מסוימים , חוסר פתרון הוא הפתרון הנכון. כמו במקרה זה , הכדורים לא נפגשים, העובדה שאין פתרון מתמטי לזמן המפגש מעידה שהכדורים לא נפגשים.

______________________________________________________________________________________