אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2009,1-שני גופים נזרקים מעלה

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

التالي: 12. 2008,1-שני גופים גרף מהירות זמן

11. 2009,1-שני גופים נזרקים מעלה

קישור להדפסת השאלה

* שאלה זו שונה מהשאלה המקורית, והיא מותאמת לנושא הקנמטיקה בקו ישר.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق Y‏ غامق يساوي‏ غامق 120‏ غامق m‏ end style$

השאלה עוסקת בתנועת שני גופים הנעים בזמנים תנועה זהים. יש לכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהכדורים, למצוא את זמן המפגש מהשוואת הפונקציות. ולהציב את זמן המפגש באחת הפונקציות מקום זמן כדי למצוא את מקום המפגש.

נתאר את תנועת שני הכדורים ביחס לציר תנועה Y שכיוונו כלפי מעלה , וראשיתו בקרקע .
נגדיר את כדור A ככדור מספר 1 , וכדור B ככדור מספר 2. נכתוב את נתוני התנועה של הכדורים ביחס לציר התנועה הנבחר.
מהירות הכדורים הולכת וקטנה לכן הם נעים בתאוצה שלילית
$begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 45‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 دليل سفلي غامق 1 نهاية دليل سفلي‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s‏ ‏ غامق a دليل سفلي غامق 1‏ غامق يساوي‏ غامق g‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2‏ end style$
$begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 02‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق m‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق 02‏ غامق يساوي‏ غامق 55‏ غامق m على غامق s‏ ‏ غامق a دليل سفلي غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق g‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2‏ end style$
שני הכדורים התחילו לנוע בו זמנית, זמן תנועת הכדורים זהה בכל רגע, נכתוב את פונקציית המקום זמן לכל אחד מהכדורים:
$begin mathsize 20px style غامق Y دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 45‏ غامق زائد‏ غامق 40‏ غامق t‏ غامق ناقص‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2‏ ‏ غامق Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 55‏ غامق t‏ غامق ناقص‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2‏ end style$
נמצא את זמן המפגש- ברגע המפגש , מקום הכדורים זהה, לכן כדי למצוא את זמן המפגש נשווה בין מקומי הכדורים:
$begin mathsize 20px style texto 55t- نهاية النص‏ 1 على 2‏ في‏ 10‏ في‏ طبيعي t أس 2‏ يساوي‏ 45‏ زائد‏ 40‏ طبيعي t‏ ناقص‏ 1 على 2‏ في‏ 10‏ في‏ طبيعي t أس 2‏ ‏ 15‏ طبيعي t‏ يساوي‏ 45‏ ‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق 3‏ غامق s‏ end style$
נמצא את מקום המפגש - נציב את זמן המפגש באחת מפונקציות המקום זמן:
$bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 55‏ bold italic t‏ غامق ناقص‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق 10‏ غامق في‏ bold italic t أّسّ غامق 2‏ ‏ bold italic Y دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 55‏ غامق في‏ غامق 3‏ غامق ناقص‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق 10‏ غامق في‏ غامق 3 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 165‏ غامق ناقص‏ غامق 45‏ غامق يساوي‏ غامق 120‏ bold italic m‏$
לכן הכדורים נפגשים במקום y=120m , זאת אומרת בגובה 120 מטר מעל פני הקרקע.

הכדורים נזרקים כלפי מעלה ומהירותם חיובית , לכן ציר התנועה חייב להיות במקרה זה כלפי מעלה. ראשיתו יכולה להיות בכל מקום.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

אין רגע כזה.

כדי שלכדורים תהיה מהירות זהה בגודלה וכיוון תנועה זהה , לכדורים צריכה להיות אותה המהירות בגודל ובסימן

הכדורים נזרקים במהירויות שונות , והמהירות שלהם משתנה בצורה זהה , בכל שנייה מהירותם קטנה ב 10 מטר לשנייה. לכן לא יכול להיות רגע שבו לכדורים תהיה אותה המהירות .

נשווה בין פונקציות המהירות זמן , כדי למצוא זמן בו לשני הכדורים מהירות זהה:

$begin mathsize 20px style bold italic V دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ bold italic V دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ bold italic t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ ‏ غامق 40‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق t نهاية التشطيب‏ غامق يساوي‏ غامق 55‏ تشطيب مائل نحو الأسفل غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق t نهاية التشطيب‏ ‏ غامق 40‏ غامق لا يساوي‏ غامق 55 end style$

לכן , אין זמן בו לשני הכדורים קיימת מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

נשווה בין פונקציות המהירות זמן , כדי למצוא זמן בו לשני הכדורים מהירות זהה:

undefined

לכן , אין זמן בו לשני הכדורים קיימת מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

חשוב להבין את תנועת הכדורים , כך שללא כל הוכחה מתמטית יהיה ברור שאין רגע שבו לשני הכדורים יש מהירות זהה בגודלה ובסימונה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...

כן, כעבור 4.75 שניות מרגע זריקת הכדורים.

מהבנת תנועת הכדורים : כאשר כדור A יורד , וכדור B עולה , יש רגע בו לשני הכדורים יש מהירות זהה בגודלה אך לא בסימונה . כדי להוכיח שיש רגע כזה יש להשוות בין $begin mathsize 20px style غامق V دليل سفلي غامق B‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ לבין $begin mathsize 20px style غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق A‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ .

כאשר גודל מהירות הכדורים זהה , מתקיים $begin mathsize 20px style غامق V دليل سفلي غامق B‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق A‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$
נכתוב את פונקציית המהירות בתלות בזמן לכל אחד מהכדורים. ונשווה בין הפונקציות.
$begin mathsize 20px style غامق V دليل سفلي غامق 1‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق t‏ ‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 55‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 55‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق t‏ ‏ غامق V دليل سفلي غامق A‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق B‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ ‏ غامق 40‏ غامق ناقص‏ غامق 10‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 55‏ غامق زائد‏ غامق 10‏ غامق t‏ ‏ غامق 95‏ غامق يساوي‏ غامق 20‏ غامق t‏ ‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق 4‏ غامق.‏ غامق 75‏ غامق s‏ end style$
לכן גודל מהירות הכדורים זהה כעבור 4.75 שניות מרגע זריקתם.
אם נציב זמן זה בביטוי המהירות בתלות בזמן של הכדורים נמצא שברגע t=4.75s כדור B נע כלפי מעלה בכיוון ציר התנועה ומהירותו 7.5 מטר לשנייה , וכדור A נע כלפי מטה ומהירות 7.5- מטר לשנייה.

המהירות של הכדורים חשובה , אך מיקומם אינו חשוב.

______________________________________________________________________________________