אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2021,1- שני גופים נעים אופקית.

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

הבא: 4. 2019,1- זריקה אנכית, נתון גרף y(t)

3. 2021,1- שני גופים נעים אופקית.

______________________________________________________________________________________

...

היגד 4.

כאשר מהירות הגוף גדלה, תאוצת הגוף חיובית. וכאשר מהירות הגוף יורדת, התאוצה שלילית.

יש לקבוע זאת בהתאם לתנועות המתוארות, אם המהירות של שתי המכוניות עולות או יורדת (חשוב להתייחס לסימן המהירות).

מכונית A נעה לכיוון הציר, מהירותה חיובית המהירות יורדת עד שהמכונית נעצרת ולכן ניתן לומר שמכונית A נעה בתאוצה שלילית.

מכונית B נעה נגד כיוון הציר, ומהירותה שלילית. היא קטנה בערכה המוחלט, כלומר הופכת לשלילית יותר, ולכן ניתן לומר שמכונית B נעה בתאוצה שלילית.

1. מהגדרת התאוצה: $begin mathsize 22px style bold a bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold increment bold t end fraction end style$

כאשר המהירות גדלה ( $begin mathsize 20px style bold V bold greater than bold V subscript bold 0 end style$ ) - התאוצה חיובית.

וכאשר המהירות קטנה ( $begin mathsize 20px style bold V bold less than bold V subscript bold 0 end style$ ) - התאוצה שלילית .

סימן המהירות חשוב מאוד!!

כאשר $begin mathsize 20px style bold V bold equals bold 20 bold m over bold s bold space bold space bold minus bold ו bold space bold space bold V subscript bold 0 bold equals bold 40 bold m over bold s end style$ המהירות קטנה - התאוצה שלילית .

וכאשר $begin mathsize 20px style bold V bold equals bold minus bold 20 bold m over bold s bold space bold space bold minus bold ו bold space bold space bold V subscript bold 0 bold equals bold minus bold 40 bold m over bold s end style$ המהירות גדלה - התאוצה חיובית.

התיאור המילולי בשאלה מתאר שינויים בגודל של כל אחת משתי המהירויות. (מכונית B מאיצה. מכונית A מאיטה.) תיאורים מילוליים אלה מתארים את השינוי בערך המוחלט של המהירות בלבד. (אי אפשר לדעת מהם על סימני המהירות).
כך שלא ניתן לקבוע אם מכונית נעה בתאוצה חיובית או שלילית על סמך תיאורים מילוליים אלו בלבד.

על מנת לקבוע האם המהירות עולה או יורדת, בנוסף לתיאורים מילוליים, יש לקחת בחשבון גם את כיוון התנועה של שתי המכוניות.

מכונית B היא דוגמה טובה לכך: מכונית B "הגדילה את מהירותה", אך היא נעה כנגד הציר. אז המהירות שלה יותר ויותר שלילית.
אז למרות שכתוב: "שגודל המהירות שלה גדלה", המהירות יורדת! והתאוצה שלילית.

2. בשאלה כתוב: "ברגע t = 0s רכב A עבר את נקודה A", במילים פשוטות זה אומר שהמכונית התחילה לנוע ממהירות התחלתית שונה מאפס.

3. ניתן לדעת את סימן התאוצה גם מהכוח השקול.

לפי החוק השני של ניוטון $begin mathsize 20px style stack straight capital sigma straight F with bold rightwards arrow on top bold equals bold m bold times bold a with bold rightwards arrow on top end style$ ، סימן התאוצה ביחס לציר זהה לסימן הכוח ביחס לציר.

כאשר כיוון הכוח השקול הוא בכיוון ציר התנועה, הכוח השקול הוא חיובי והתאוצה חיובית.

וכאשר כיוון הכוח השקול מנוגד לכיוון ציר התנועה, הכוח השקול הוא שלילי וגם התאוצה שלילית.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold t bold equals bold 15 bold s end style$

הביעו את זמן התנועה מהפונקציה $begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ .

נתייחס להתנועת מכונית A מרגע שהיא מתחילה לנוע ועד לרגע שהיא נעצרת.
מהירות המכונית היא 30 מטר לשנייה, והיא נעה בכיוון הציר: $begin mathsize 20px style bold V bold equals bold 30 bold m over bold s end style$ .
המהירות יורדת בקצב קבוע של 2 מטר לשנייה בכל שנייה עד שהיא נעצרת, ובכך היא נעה בתאוצה קבועה: $begin mathsize 20px style bold a bold equals bold minus bold 2 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$ .

נבטא את זמן התנועה מהביטוי למהירות כפונקציה של זמן:
$begin mathsize 20px style bold V bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold t bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 0 bold minus bold 30 over denominator bold minus bold 2 end fraction bold equals bold 15 bold S end style$

לכן, הזמן שעובר מרגע t = 0s ועד לרגע עצירת המכונית הוא 15 שניות.

1. בסעיף זה, כותב השאלה אינו כותב במפורש מהי התאוצה של מכונית A, אלא רק מציין שהמהירות יורדת בקצב קבוע שגודלו $begin mathsize 20px style bold 2 bold m over bold s end style$ בכל שנייה.

2. מהביטוי "מכונית א' האטה" בלבד, לא ניתן לקבוע אם המכונית נעה בתאוצה חיובית או שלילית.

כדי לקבוע את סימן התאוצה, יש לקחת בחשבון גם את כיוון התנועה.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold increment bold X bold equals bold 225 bold m end style$

המרחק הדרוש שווה לתזוזת התנועה של מכונית A.
ניתן למצוא תזוזה זו באמצעות ריבוע המהירויות או באמצעות הפונקציה $begin mathsize 20px style bold X bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ .

נתייחס לתנועת המכונית A מ-t = 0 s, עד לרגע שבו היא נעצרת.

נמצא תזוזת התנועה של הגוף מהפונקציה $begin mathsize 20px style bold X bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ :
$begin mathsize 20px style bold X bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold X subscript bold 0 bold plus bold V subscript bold 0 bold times bold t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold a bold times bold t to the power of bold 2 bold increment bold X bold equals bold V subscript bold 0 bold times bold t bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold a bold times bold t to the power of bold 2 bold equals bold 30 bold times bold 15 bold plus bold 1 over bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis bold times bold 15 to the power of bold 2 bold equals bold 450 bold minus bold 225 bold equals bold 225 bold m end style$

דרך נוספת, נמצא את תזוזת התנועה באמצעות ביטוי ריבוע המהירויות:
$begin mathsize 20px style bold V to the power of bold 2 bold equals bold V subscript bold 0 to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold times bold a bold times bold increment bold X bold increment bold X bold equals fraction numerator bold V to the power of bold 2 bold minus bold V subscript bold 0 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold a end fraction bold equals fraction numerator bold 0 to the power of bold 2 bold minus bold 30 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 900 over denominator bold minus bold 4 end fraction bold equals bold 225 bold m end style$

לבסוף, המרחק בין נקודת עצירת המכונית A לנקודה A הוא 225 מטר.

1. ערך המרחק תמיד חיובי (בניגוד לתזוזת התנועה).

אין הבדל בין המרחק מנקודת העצירה לנקודה A לבין המרחק מנקודה A לנקודת העצירה.

2. במקרה זה הגוף נע לכיוון הציר, תזוזה של תנועתו חיובית, כמו ערך המרחק בין נקודת העצירה לנקודה A.

3. ניתן היה לנסח את השאלה בצורה פשוטה יותר, לכתוב "מהי תזוזה של התנועה של מכונית א'".

ברור מסעיף זה ומהסעיפים הקודמים שמחבר השאלה לא התאמץ למצוא ניסוח פשוט יותר:

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold a bold equals bold 6 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$

מציאת זמן הבלימה וגודל השינוי במהירות במהלך הבלימה וחישוב התאוצה מהגדרת התאוצה.

מכונית B נעה בשתי תנועות שונות. בהתחלה היא נעה ממנוחה בתאוצה שווה $begin mathsize 20px style bold minus bold 3 bold m over bold s to the power of bold 2 end style$ למשך 10 שניות. ואז המכונית מפסיקה לנוע.

בהינתן שזמן הנסיעה הכולל של מכונית "B" זהה לזה של מכונית "A" (15 שניות). לכן, ניתן לומר שזמן הבלימה של מכונית B הוא 5 שניות.

אנו מוצאים את המהירות של מכונית B ברגע הבלימה באמצעות הפונקציה $begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis end style$ :

$begin mathsize 20px style bold V bold left parenthesis bold t bold right parenthesis bold equals bold V subscript bold 0 bold plus bold a bold times bold t bold V bold left parenthesis bold 10 bold right parenthesis bold equals bold 0 bold plus bold left parenthesis bold minus bold 3 bold right parenthesis bold times bold 10 bold equals bold minus bold 30 bold m over bold s end style$

נחשב את התאוצה של מכונית B באמצעות ההגדרה של תאוצה:

$bold a bold equals fraction numerator bold increment bold V over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold V bold minus bold V subscript bold 0 over denominator bold increment bold t end fraction bold equals fraction numerator bold 0 bold minus bold left parenthesis bold minus bold 30 bold right parenthesis over denominator bold 5 end fraction bold equals bold 30 over bold 5 bold equals bold 6 bold m over bold s to the power of bold 2$

לכן התאוצה של מכונית B בזמן הבלימה שווה ל 6m/s².

1. יש להבין פרטים רבים בסעיף זה ובסעיף הקודם כדי לדעת את זמן הבלימה ושינוי המהירות של מכונית ב'.
לא קל לעקוב אחר כל הפרטים. מומלץ לקרוא את השאלות בעיון ולא למהר להסיק מסקנות.

2. יש למצוא את גודל התאוצה, ואין צורך לציין את כיוון התאוצה בתשובה..

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style bold d bold equals bold 450 bold m end style$

שתי המכוניות עצרו באותו מקום, כך שסכום התזוזות של שתי המכוניות שווה למרחק ההתחלתי בין שתי המכוניות.

בסעיף ג, מוצאנו שהמרחק שעברה מכונית A מנקודה A לנקודת העצירה הוא 225 מטר.
מכונית B נעה בתנועות שונות. כדי למצוא את תזוזת התנועה של מכונית B, נצייר גרף של המהירות כפונקציה של זמן כדי לתאר את תנועת המכונית:

גודל תוזת התנועה של מכונית B שווה לערך שטח המשולש התחום על ידי הגרף, נחשב את השטח הזה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

מכונית A נעה בכיוון הציר ימינה ומכונית B נעה לכיוונה. המרחק ההתחלתי ביניהם AB שווה לסכום הגדלים של שתי התזוזות:
נחשב מרחק זה:
$Error converting from MathML to accessible text.$

המרחק ההתחלתי בין שתי המכוניות הוא: 450 מטר.

1. כל פונקציה וביטוי בקינמטיקה עוסקים בתנועה אחת בלבד.

כאשרגוף נע בכמה תנועות רצוי מאוד לתאר את התנועה בגרף מהירות כפונקציה של זמן ולהסיק מסקנות על סמך הגרף.

2. המרחק בין שתי המכוניות אינו שווה לתזוזת התנועה. תזוזה מתארת את תנועת הגוף, לא את המרחק בין שני הגופים.

______________________________________________________________________________________

...

יש צורך להבין את סוג התנועה של כל אחד משתי המכוניות ולשרטט את הגרף בהתאם.

ביחס לציר הנתון, מכונית A נעה במהירות חיובית הולכת וקטנה עד שהיא נעצרת למשך 15 שניות.
מכונית B נעה במשך 15 שניות בשתי תנועות שונות. התנועה הראשונה - תנועה ממצב מנוחה עם האצה שלילית למשך 10 שניות. התנועה השנייה היא תוך בלימה בהאצה חיובית למשך 5 שניות.

האיור הבא מתאר גרף של המהירות כפונקציה של הזמן המתאר את התנועה של כל אחת משתי המכוניות:

באמצעות גרף של מהירות כפונקציה של זמן, ניתן לדעת כמעט את כל הגדלים בקינמטיקה (פרט למיקום העצם). לכן, גרף המהירות כפונקציה של זמן שימושי בפתרון תרגילים, במיוחד במקרה של תנועת גוף בתנועות שונות.

בחלק מהשאלות בקינמטיקה נדרש לצייר גרף של מהירות כפונקציה של זמן, בשאלות אלו עדיף לצייר את הגרף כבר בסעיפים הראשונים ולהשתמש בגרף ככלי חשוב להבנה וניתוח של תנועה.

______________________________________________________________________________________