אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425: 2021,1- שני גופים נעים אופקית.

אלבום פתרונות - קינמטיקה בקו ישר 1425

التالي: 4. 2019,1- זריקה אנכית, נתון גרף y(t)

3. 2021,1- שני גופים נעים אופקית.

______________________________________________________________________________________

...

היגד 4.

כאשר מהירות הגוף גדלה, תאוצת הגוף חיובית. וכאשר מהירות הגוף יורדת, התאוצה שלילית.

יש לקבוע זאת בהתאם לתנועות המתוארות, אם המהירות של שתי המכוניות עולות או יורדת (חשוב להתייחס לסימן המהירות).

מכונית A נעה לכיוון הציר, מהירותה חיובית המהירות יורדת עד שהמכונית נעצרת ולכן ניתן לומר שמכונית A נעה בתאוצה שלילית.

מכונית B נעה נגד כיוון הציר, ומהירותה שלילית. היא קטנה בערכה המוחלט, כלומר הופכת לשלילית יותר, ולכן ניתן לומר שמכונית B נעה בתאוצה שלילית.

1. מהגדרת התאוצה: $begin mathsize 22px style غامق a‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق زيادة‏ غامق t نهاية الكسر end style$

כאשר המהירות גדלה ( $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق أكبر‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 end style$ ) - התאוצה חיובית.

וכאשר המהירות קטנה ( $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق أصغر من‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 end style$ ) - התאוצה שלילית .

סימן המהירות חשוב מאוד!!

כאשר $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق يساوي‏ غامق 20‏ غامق m على غامق s‏ غامق تباعد‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق ו‏ غامق تباعد‏ غامق تباعد‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s end style$ המהירות קטנה - התאוצה שלילית .

וכאשר $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 20‏ غامق m على غامق s‏ غامق تباعد‏ غامق تباعد‏ غامق ناقص‏ غامق ו‏ غامق تباعد‏ غامق تباعد‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 40‏ غامق m على غامق s end style$ המהירות גדלה - התאוצה חיובית.

התיאור המילולי בשאלה מתאר שינויים בגודל של כל אחת משתי המהירויות. (מכונית B מאיצה. מכונית A מאיטה.) תיאורים מילוליים אלה מתארים את השינוי בערך המוחלט של המהירות בלבד. (אי אפשר לדעת מהם על סימני המהירות).
כך שלא ניתן לקבוע אם מכונית נעה בתאוצה חיובית או שלילית על סמך תיאורים מילוליים אלו בלבד.

על מנת לקבוע האם המהירות עולה או יורדת, בנוסף לתיאורים מילוליים, יש לקחת בחשבון גם את כיוון התנועה של שתי המכוניות.

מכונית B היא דוגמה טובה לכך: מכונית B "הגדילה את מהירותה", אך היא נעה כנגד הציר. אז המהירות שלה יותר ויותר שלילית.
אז למרות שכתוב: "שגודל המהירות שלה גדלה", המהירות יורדת! והתאוצה שלילית.

2. בשאלה כתוב: "ברגע t = 0s רכב A עבר את נקודה A", במילים פשוטות זה אומר שהמכונית התחילה לנוע ממהירות התחלתית שונה מאפס.

3. ניתן לדעת את סימן התאוצה גם מהכוח השקול.

לפי החוק השני של ניוטון $begin mathsize 20px style ركيزة طبيعي حرف سيجما كبير‏ طبيعي F مع غامق سهم متجه يمين ً ا فوق‏ غامق يساوي‏ غامق m‏ غامق في‏ غامق a مع غامق سهم متجه يمين ً ا فوق end style$ ، סימן התאוצה ביחס לציר זהה לסימן הכוח ביחס לציר.

כאשר כיוון הכוח השקול הוא בכיוון ציר התנועה, הכוח השקול הוא חיובי והתאוצה חיובית.

וכאשר כיוון הכוח השקול מנוגד לכיוון ציר התנועה, הכוח השקול הוא שלילי וגם התאוצה שלילית.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق t‏ غامق يساوي‏ غامق 15‏ غامق s end style$

הביעו את זמן התנועה מהפונקציה $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ .

נתייחס להתנועת מכונית A מרגע שהיא מתחילה לנוע ועד לרגע שהיא נעצרת.
מהירות המכונית היא 30 מטר לשנייה, והיא נעה בכיוון הציר: $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق يساوي‏ غامق 30‏ غامق m على غامق s end style$ .
המהירות יורדת בקצב קבוע של 2 מטר לשנייה בכל שנייה עד שהיא נעצרת, ובכך היא נעה בתאוצה קבועה: $begin mathsize 20px style غامق a‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2 end style$ .

נבטא את זמן התנועה מהביטוי למהירות כפונקציה של זמן:
$begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t‏ ‏ ‏ غامق t‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق a نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 0‏ غامق ناقص‏ غامق 30 على المقام غامق ناقص‏ غامق 2 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 15‏ غامق S end style$

לכן, הזמן שעובר מרגע t = 0s ועד לרגע עצירת המכונית הוא 15 שניות.

1. בסעיף זה, כותב השאלה אינו כותב במפורש מהי התאוצה של מכונית A, אלא רק מציין שהמהירות יורדת בקצב קבוע שגודלו $begin mathsize 20px style غامق 2‏ غامق m على غامق s end style$ בכל שנייה.

2. מהביטוי "מכונית א' האטה" בלבד, לא ניתן לקבוע אם המכונית נעה בתאוצה חיובית או שלילית.

כדי לקבוע את סימן התאוצה, יש לקחת בחשבון גם את כיוון התנועה.

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق زيادة‏ غامق X‏ غامق يساوي‏ غامق 225‏ غامق m end style$

המרחק הדרוש שווה לתזוזת התנועה של מכונית A.
ניתן למצוא תזוזה זו באמצעות ריבוע המהירויות או באמצעות הפונקציה $begin mathsize 20px style غامق X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ .

נתייחס לתנועת המכונית A מ-t = 0 s, עד לרגע שבו היא נעצרת.

נמצא תזוזת התנועה של הגוף מהפונקציה $begin mathsize 20px style غامق X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ :
$begin mathsize 20px style غامق X‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق X دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2‏ ‏ ‏ غامق زيادة‏ غامق X‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق في‏ غامق t‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 30‏ غامق في‏ غامق 15‏ غامق زائد‏ غامق 1 على غامق 2‏ غامق في‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق في‏ غامق 15 أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق 450‏ غامق ناقص‏ غامق 225‏ غامق يساوي‏ غامق 225‏ غامق m end style$

דרך נוספת, נמצא את תזוזת התנועה באמצעות ביטוי ריבוע המהירויות:
$begin mathsize 20px style غامق V أّسّ غامق 2‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 أّسّ غامق 2‏ غامق زائد‏ غامق 2‏ غامق في‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق زيادة‏ غامق X‏ ‏ ‏ غامق زيادة‏ غامق X‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 أّسّ غامق 2 على المقام غامق 2‏ غامق في‏ غامق a نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 0 أّسّ غامق 2‏ غامق ناقص‏ غامق 30 أّسّ غامق 2 على المقام غامق 2‏ غامق في‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 2‏ غامق قوس هلالي أيمن نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق ناقص‏ غامق 900 على المقام غامق ناقص‏ غامق 4 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 225‏ غامق m end style$

לבסוף, המרחק בין נקודת עצירת המכונית A לנקודה A הוא 225 מטר.

1. ערך המרחק תמיד חיובי (בניגוד לתזוזת התנועה).

אין הבדל בין המרחק מנקודת העצירה לנקודה A לבין המרחק מנקודה A לנקודת העצירה.

2. במקרה זה הגוף נע לכיוון הציר, תזוזה של תנועתו חיובית, כמו ערך המרחק בין נקודת העצירה לנקודה A.

3. ניתן היה לנסח את השאלה בצורה פשוטה יותר, לכתוב "מהי תזוזה של התנועה של מכונית א'".

ברור מסעיף זה ומהסעיפים הקודמים שמחבר השאלה לא התאמץ למצוא ניסוח פשוט יותר:

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق a‏ غامق يساوي‏ غامق 6‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2 end style$

מציאת זמן הבלימה וגודל השינוי במהירות במהלך הבלימה וחישוב התאוצה מהגדרת התאוצה.

מכונית B נעה בשתי תנועות שונות. בהתחלה היא נעה ממנוחה בתאוצה שווה $begin mathsize 20px style غامق ناقص‏ غامق 3‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2 end style$ למשך 10 שניות. ואז המכונית מפסיקה לנוע.

בהינתן שזמן הנסיעה הכולל של מכונית "B" זהה לזה של מכונית "A" (15 שניות). לכן, ניתן לומר שזמן הבלימה של מכונית B הוא 5 שניות.

אנו מוצאים את המהירות של מכונית B ברגע הבלימה באמצעות הפונקציה $begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن end style$ :

$begin mathsize 20px style غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق t‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق V دليل سفلي غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق a‏ غامق في‏ غامق t‏ ‏ غامق V‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق 10‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق يساوي‏ غامق 0‏ غامق زائد‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 3‏ غامق قوس هلالي أيمن‏ غامق في‏ غامق 10‏ غامق يساوي‏ غامق ناقص‏ غامق 30‏ غامق m على غامق s end style$

נחשב את התאוצה של מכונית B באמצעות ההגדרה של תאוצה:

$غامق a‏ غامق يساوي‏ البسط غامق زيادة‏ غامق V على المقام غامق زيادة‏ غامق t نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق V‏ غامق ناقص‏ غامق V دليل سفلي غامق 0 على المقام غامق زيادة‏ غامق t نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ البسط غامق 0‏ غامق ناقص‏ غامق قوس هلالي أيسر‏ غامق ناقص‏ غامق 30‏ غامق قوس هلالي أيمن على المقام غامق 5 نهاية الكسر‏ غامق يساوي‏ غامق 30 على غامق 5‏ غامق يساوي‏ غامق 6‏ غامق m على غامق s أّسّ غامق 2$

לכן התאוצה של מכונית B בזמן הבלימה שווה ל 6m/s².

1. יש להבין פרטים רבים בסעיף זה ובסעיף הקודם כדי לדעת את זמן הבלימה ושינוי המהירות של מכונית ב'.
לא קל לעקוב אחר כל הפרטים. מומלץ לקרוא את השאלות בעיון ולא למהר להסיק מסקנות.

2. יש למצוא את גודל התאוצה, ואין צורך לציין את כיוון התאוצה בתשובה..

______________________________________________________________________________________

...

$begin mathsize 20px style غامق d‏ غامق يساوي‏ غامق 450‏ غامق m end style$

שתי המכוניות עצרו באותו מקום, כך שסכום התזוזות של שתי המכוניות שווה למרחק ההתחלתי בין שתי המכוניות.

בסעיף ג, מוצאנו שהמרחק שעברה מכונית A מנקודה A לנקודת העצירה הוא 225 מטר.
מכונית B נעה בתנועות שונות. כדי למצוא את תזוזת התנועה של מכונית B, נצייר גרף של המהירות כפונקציה של זמן כדי לתאר את תנועת המכונית:

גודל תוזת התנועה של מכונית B שווה לערך שטח המשולש התחום על ידי הגרף, נחשב את השטח הזה:

$Error converting from MathML to accessible text.$

מכונית A נעה בכיוון הציר ימינה ומכונית B נעה לכיוונה. המרחק ההתחלתי ביניהם AB שווה לסכום הגדלים של שתי התזוזות:
נחשב מרחק זה:
$Error converting from MathML to accessible text.$

המרחק ההתחלתי בין שתי המכוניות הוא: 450 מטר.

1. כל פונקציה וביטוי בקינמטיקה עוסקים בתנועה אחת בלבד.

כאשרגוף נע בכמה תנועות רצוי מאוד לתאר את התנועה בגרף מהירות כפונקציה של זמן ולהסיק מסקנות על סמך הגרף.

2. המרחק בין שתי המכוניות אינו שווה לתזוזת התנועה. תזוזה מתארת את תנועת הגוף, לא את המרחק בין שני הגופים.

______________________________________________________________________________________

...

יש צורך להבין את סוג התנועה של כל אחד משתי המכוניות ולשרטט את הגרף בהתאם.

ביחס לציר הנתון, מכונית A נעה במהירות חיובית הולכת וקטנה עד שהיא נעצרת למשך 15 שניות.
מכונית B נעה במשך 15 שניות בשתי תנועות שונות. התנועה הראשונה - תנועה ממצב מנוחה עם האצה שלילית למשך 10 שניות. התנועה השנייה היא תוך בלימה בהאצה חיובית למשך 5 שניות.

האיור הבא מתאר גרף של המהירות כפונקציה של הזמן המתאר את התנועה של כל אחת משתי המכוניות:

באמצעות גרף של מהירות כפונקציה של זמן, ניתן לדעת כמעט את כל הגדלים בקינמטיקה (פרט למיקום העצם). לכן, גרף המהירות כפונקציה של זמן שימושי בפתרון תרגילים, במיוחד במקרה של תנועת גוף בתנועות שונות.

בחלק מהשאלות בקינמטיקה נדרש לצייר גרף של מהירות כפונקציה של זמן, בשאלות אלו עדיף לצייר את הגרף כבר בסעיפים הראשונים ולהשתמש בגרף ככלי חשוב להבנה וניתוח של תנועה.

______________________________________________________________________________________